Question

已知a,b,c属于R+,用综合法证明： （1）（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c^2)>=16abc

已知a,b,c属于R+,用综合法证明： （1）（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c^2)>=16abc (2) 2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 1

证明：
1)因为a,b,c属于R+，则（ab+a+b+1）≥（ab+2√(ab)+1)=4√(ab)（当且仅当a=b时取等号）
(ab+ac+bc+c^2)=(a+c)(b+c)≥2√(ac)*2√(bc)=4c√(ab)（当且仅当a=c=b时取等号)
所以（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c^2)≥4√(ab)*4c√(ab)=16abc（当且仅当a=c=b时取等号)
2)因为a^2+b^2≥2ab，所以a^2+b^2-ab≥ab，所以a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)≥(a+b)ab
同理可得b^3+c^3≥(b+c)bc,a^3+c^3≥(a+c)ac.
所以2(a^3+b^3+c^3)=(a^3+b^3)+(b^3+c^3)+(a^3+c^3)≥(a+b)ab+(b+c)bc+(a+c)ac=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 2

这两题都用到一个不等式a^2+b^2>=2ab，a,b属于R+
(1)先因式分解，利用上式就有a+1>=2√a，b+1>=2√b，a+c>=2√a*√c，b+c>=2√b√c，所以
（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c^2)=（a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>=2√a*2√b*2√a*√c*2√b√c=16abc
(2)利用上式可得a^3+b^3=（a+b)(a^2-ab+b^2)>=(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)
同理b^3+c^3>=bc(b+c)，c^3+a^3>=ca(c+a)，所以
2(a^3+b^3+c^3)>=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 3

(1)（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c^2)=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥2√a*2√b*2√ac*2√bc=16abc
(2)a^3+b^3-(a^2b+b^2a)=a^2(a-b)+b^2(b-a)=(a+b)(a-b)^2≥0
同理b^3+c^3-(b^2c+c^2b)≥0
a^3+c^3-(a^2c+c^2a)≥0
所以2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
证毕

Answer 4

1，（ab a b 1)(ab ac bc c^2)=(a 1)(b 1)(a c)(b c)≥2√a*2√b*2√ac*2√bc=16abc
2，a^3 b^3-a^2*b-b^2*a=(a-b)^2(a b)≥0，所以a^3 b^3≥a^2*b b^2*a
同理b^3 c^3≥b^2*c c^2*b，a^3 c^3≥a^2*c c^2*a
左边与左边相加，右边与右边相加，整理即可得到