Question

如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF//AB,且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时

如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF//AB,且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
(1) 当DE/AE=1时，EF=a+b/2
(2) 当DE/AE=2时，EF=a+2b/3
(3) 当DE/AE=3时，EF=a+3b/4
当DE/AE=k时，参照上述方法，你能否推出用a、b和k表示EF的一般结论.

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Answer 1

过D作DN∥BC，交EF于M
AB∥CD∥EF
四边形DMFC为平行四边形
DC＝MF=NB＝a
DE/AE＝k
DE＝k*AE
DA＝DE+AE＝k*AE+AE＝（1+k）*AE
AN＝AB-NB＝b-a
DE/DA＝EM/AN
EM＝AN*DE/DA
=(b-a)*k*AE/(1+K)AE=(b-a)*k* /(1+k)
EF=EM+MF=a+ (b-a)*k* /(1+k)=(a+b*k)/(1+k)

Answer 2

　　解：（1）猜想得：EF=a+kb/1+k

证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．

∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴DH/AG=DE/AE

又∵EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，
∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴EF-a/b-EF=k，可得EF=a+kb/1+k

Answer 3

过d和c分别作AB的垂线 交EF于g,h 交AB于MN
则EG/AM=HF/NB =DE/(AE+DE)又AE+DE=（1+1/K)DE
所以(EG+HF)/(AM+NB)=DE/（1+1/K)DE=K/(1+K)
又EG+HF+a=EF AM+NB +a=b
所以EF=(b-a)*K/(1+K)+a=(a+kb)/(1+k)=

Answer 4

过D作DN∥BC，交EF于M
AB∥CD∥EF
四边形DMFC为平行四边形
DC＝MF=NB＝a
DE/AE＝k
DE＝k*AE
DA＝DE+AE＝k*AE+AE＝（1+k）*AE
AN＝AB-NB＝b-a
DE/DA＝EM/AN
EM＝AN*DE/DA
=(b-a)*k*AE/(1+K)AE=(b-a)*k* /(1+k)
EF=EM+MF=a+ (b-a)*k* /(1+k)=(a+b*k)/(1+k)(1)EF=(a+b*1)/(1+1)=(a+b)/2(2)EF=(a+b*2)/(2+1)=(a+2b)/3(3)EF=(a+b*3)/(3+1)=(a+3b)/4

Answer 5

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