Question

已知等边三角形ABC，延长BA至E，延长BC至D，使得AE=BD，求证EC=ED

Answer 1

证明:延长BD到F,使BF=BE,连接EF.则BF-BC=BE-BA.
即CF=AE;又AE=BD.
故CF=BD, DF=BC.
∵∠B=60°.
∴ ⊿BEF为等边三角形,BE=EF;∠B=∠F=60°.
∴ ⊿EBC≌⊿EFD(SAS),EC=ED.

Answer 2

自E作EH⊥BD，垂足为H，得直角△BEH，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，AB=BC，
在rt△BEH中，∠BEH=30°，BH=BE/2，①
其中BH=BC+CH；
BE=AB+AE=BC+BD=BC+BC+CD=2BC+CD，
∴①式为：BC+CH=(1/2)(2BC+CD)=BC+CD/2，
得到CH=CD/2，故H是CD的中点，EH是CD的垂直平分线，
∴EC=ED.。

Answer 3

延长CD到F，使DF=AB，则BF=BD+DF=AE+AB=BE，三角形BEF是一个等腰三角形了，又角B=60度，三角形BEF是一个等边三角形了，
再由BE=EF，角B=角F=60度，BC=BD，三角形EBC全等于三角形EFD（SAS）得EC=ED。