Question

求不定积分啊啊啊啊啊，急急急急，谢谢~~~ lnx/√(1-x^2)

Answer 1

这个用常规办法是做不出来的，只能先分部积分，然后再用泰勒公式。
∫ lnx/√(1－x²) dx
＝∫ lnx d(arcsinx)
＝lnx·arcsinx－∫arcsinx d(lnx)
＝lnx·arcsinx－∫arcsinx·(1/x) dx
＝lnx·arcsinx－∫(arcsinx / x )dx
第二项 (arcsinx / x ) 的原函数是无法用初等函数表示的，只能考虑用泰勒公式展开。
先展开arcsinx ，由于没有现成的公式，故先求其导数的泰勒公式，再积分，
(arcsinx) ' ＝1/√(1－x²) ，把这个用泰勒公式展开，这个不难，有模板 (1＋x)的 α 次方，这里相当于α＝－1/2 ，在 (1＋x)的 α 次方的泰勒展开式中，令α＝－1/2，并用 －x² 替换x，
即可得到1/√(1－x²) 的泰勒展开式；两端积分，就得到了arcsinx 的泰勒展开式；然后，两端同除以 x ，就得到了 arcsinx / x 的泰勒展开式，然后对它积分，就得到了上面第二项的原函数，它是一个无穷级数形式的函数，再把第一项添上，就是最终结果。
如果你一开始就想用泰勒公式，是非常麻烦的，必须先分部一次。

Answer 2

这个被积函数是超越函数吧？