Question

已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC.

⑴如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；
⑵如图2，若点O在△ABC的内部，AB=AC成立吗？请说明理由。

Answer 1

不能，"点O到△ABC的两边AB、AC所在的直线距离相等"说明O在角A的角平分线，“OB=OC”说明O在BC的中垂线上。做一边长为3，4，5的三角形，按以上要求做图可使O点满足条件但3不等于4

Answer 2

【1】
证法1
连接AO
∵OB=OC
即⊿ABO和⊿ACO等底同高
∴S⊿ABO=S⊿ACO
S⊿ABO=½AB×OE，S⊿ACO=½AC×OF
∵OE=OF
∴AB=AC
证法2
∵∠BEO=∠CFO=90º
OE=OF，BO=CO
∴Rt⊿BEO≌Rt⊿CFO（HL）
∴∠B=∠C
∴AB=AC
【2】
证明
∵∠BEO=∠CFO=90º
OE=OF，BO=CO
∴Rt⊿BEO≌Rt⊿CFO（HL）
∴∠EBO=∠FCO
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB
即∠EBC=∠FCB
∴AB=AC

Answer 3

1点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等
∴OE=OF
∵OB=OC.
∴Rt△OBE≌Rt△OCF
∴∠B=∠C
∴AB=AC
2过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F
OE=OF
∵OB=OC.
∴Rt△OBE≌Rt△OCF
∴∠ABO=∠ACO
∵OB=OC.
∴∠OBC=∠OCB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC

Answer 4

∵直角三角形BEO≌直角三角形CFO
∴∠B=∠C
等腰三角形ABC中，AB=AC

Answer 5

1.⊿BOE≌⊿BOF
∴∠B＝∠C
∴AB=AC
2. HL判定.⊿BOE≌⊿BOF
∴∠OBE=∠OCE
∵OB=OC.
∴∠OBC=∠OCB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC