Question

关于圆的数学题（切线）

AC是圆O的直径，PA 切圆O于点A，点B是圆O上的一点，∠APB=60°，∠BAC=30°，
（1）求证：PB是圆O 的切线；（2）若圆O的半径为2 ，求弦AB，PA，PB的长。

很急啊

Answer 1

解：（1）连接OB．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°．
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°．
∴OB⊥PB．
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB= 1/2∠APB=30°．
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA=√( OP²-OA²)=√(4²-2²)=2√3．
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2√ 3．

Answer 2

解:延长DA与圆交于M,延长FA与圆交于N,连结NM与BC交于Q.
∵⊙O,则有∠N=∠AGH,∠M=∠AHG
又∠AGH=∠AFD,∠DAF=90°(已知)
则∠AFD=∠N
∴MN‖DF,又切线m,直径BC
则BC⊥DF,则BC⊥NM.其中NM为弦,OB为半径.
根据垂径定理知:NQ=QM,又∠NBA=∠MBA=90°,QA公共
则△NQA≌△MQA,则∠ANM=∠AMN,又∠DAF=90°
则45°=∠ANM=∠AMN=∠MDF
又DC=2,BC=4,则OC=DC=2,又BC⊥DF
则∠ODC=45 °= ∠MDF
则易知AD与OD重合,又A在线段BO上,
则A与O重合,则AB=OB=2=AH
∴S△AGH=AG×AH×(1/2)=2
你到底问了多少个,我都答了3遍了

追问

我就问了一遍，再说我又没让你打那么多遍

Answer 3

解：（1）连接OB．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°．
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°．
∴OB⊥PB．
∴PB是圆O 的切线

（2）过点O向AB作垂线，垂足为E（OE⊥DB）
∵∠BAC=30°．AO=2 OE⊥DB
∴OD=1
在△AEO中，根据勾股定理
可得AE=√(根号)3
∵AE=BE=√3
∴AB=2√3
∵PA 是圆O的切线
∴CA⊥AP
∠CAP=90°
∴∠BAP=90°-30°=60°
∵∠APB=60°
∴∠DBP=60°
∴∠OBP=60°
∴PA=PB=AB=2√ 3．