Question

罗必塔法则求极限问题，如图

Answer 1

这个问题难处理的地方是分子上的e，可以发现通过求导就可以将其消除掉，因此要运用洛必达法则对分子和分母求导。
现在先来处理一下
(1+x)^(1/x)的导数
取自然对数得
[ln(1+x)^(1/x)]'
=[ln(1+x)/x]'
=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
[(1+x)^(1/x)]'={e^[ln(1+x)^(1/x)]}'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2*(1+x)^(1/x)
再求极限
lim(x→0）[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=lim(x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/[(1+x)x^2]
=lim(x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/[(1+x)x^2] ((1+x)→1）
=lim(x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2 (0/0)
=lim(x→0）[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=lim(x→0）-ln(1+x)/(2x) (ln(1+x)~x)
=lim(x→0）-x/(2x)=-1/2
lim(x→0）[(1+x)^(1/x)-e]/x (0/0)
=lim(x→0）[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2*(1+x)^(1/x)
=lim(x→0）[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2*lim(x→0)(1+x)^(1/x)
=-1/2*e
=-e/2