Question

已知a、b、c都是正数,且a+b+c=1,证明:1-2b(a+c)+b2<=2(a2+b2+c2)

已知a、b、c都是正数,且a+b+c=1,证明:1-2b(a+c)+b2<=2(a2+b2+c2)

Answer 1

因1-2b(a+c)+b2
=(a+b+c)²-2ab-2bc+b²
=a²+2b²+c²+2ac
≤a²+2b²+c²+(a²+c²)
=2(a²+b²+c²)
所以不等式成立

Answer 2

假设原式成立
则1-2b(a+c)+b^2《 2[1-2(ac+bc+ab)]
1-2b(1-b)+b^2 《2-4[b（a+c）+ac]
1-2b+3b^2 《 2-4[b(1-b)+ac]
1-2b+3b^2 《 2-4b+4b^2-4ac
0《 1-2b+b^2-4ac
0《（1-b)^2-4ac
0 《（a+c）^2-4ac
0 《 （a-c）^2
显然(a-c)^2》0所以假设成立，即1-2b(a+c)+b2<=2(a2+b2+c2)

Answer 3

原式:2a^2+b^2+2c^2+2ab+2bc-1>=0
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc+a^2+c^-2ac-1>=0
(a+b+c)^2+(a-c)^2-1>=0
已知a+b+c=1
上式：（a-c)^2>=0 成立

Answer 4

因为a+b+c＝1，所以1-2b(a+c)=1-2b(1-b)=1-2b+2b2=1-2b+b2+b2=(b-1)的平方+b2=(-a-c)的平方+b2=a2+b2+c2+2ac要证1-2b(a+c)≤2(a2+b2+c2)即证a2+b2+c2+2ac≤2(a2+b2+c2)即证2ac≤a2+b2+c2即-b2≤a2-2ac+c2=(a-c)的平方。显然-b2＜0，而(a-c)的平方≥0所以-b2≤(a-c)的平方成立从而1-2b(a+c)≤2(a2+b2+c2)成立。