Question

已知函数f(x)=log4(4 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.,求k值。

过程

Answer 1

解（法1）
∵函数f(x)=log4(4 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数
∴f(-x)＝㏒4 [4^(-x)＋1]－kx＝㏒4 [(4^x＋1)/4^x]－kx=㏒4 (4^x + 1) －㏒4 (4^x) －kx
＝㏒4 (4^x＋1)－(k＋1)x＝f(x)＝log4(4 ^x+1)+kx
∴k＝﹣(k＋1)
∴k＝﹣1/2
如果为选择或填空题
（法2可用特殊值法）
利用 f(1)=f( - 1)
f(1)=㏒4 (5) + k
f(-1)=㏒4 (5/4) - k=㏒4 (5)-㏒4 4 - k =㏒4 (5) -1-k
k=-1-k
k=-1/2

Answer 2

∵函数f(x)=log4(4 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数
∴f(-x)＝㏒4 [4^(-x)＋1]－kx＝㏒4 [(4^x＋1)/4^x]－kx
＝㏒4 (4^x＋1)－(k＋1)x＝f(x)＝log4(4 ^x+1)+kx
∴k＝﹣(k＋1)
∴k＝﹣1/2

Answer 3

f(x)=f(-x),代入，化简：log4(4^-x+1）/(4^x+1)=2kx,即log4（4^-X）=2kx,所以，2kx=-x,即k=-1/2

Answer 4

（1）
f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即log[4^(-x)+1]+k(-x)=log(4^x+1)+kx,
∴log{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,
-x=2kx,
k=-1/2.
（2）
f(x)=log4(4^x+1)-x/2-m=0
m=log4(4^x+1)-x/2
=log4(4^x+1)-log4[4^(x/2)]
=log4[(4^x+1)/4^(x/2)]
(4^x+1)/4^(x/2)
=4^x/4^(x/2)+1/4^(x/2)
=4^(x/2)+1/4^(x/2)
因为4^(x/2)〉0
所以
4^(x/2)+1/4^(x/2)>=2根号[4^(x/2)*1/4^(x/2)]=2
当4^(x/2)=1/4^(x/2)时取等号
[4^(x/2)]^2=1
4^x=1
x=0
可以取到
所以m>=log4(2)=1/2