Question

如图,在等腰RT△ABC中,∠A=90°,P为BC的中点,小明拿着含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，且绕

如图,在等腰RT△ABC中,∠A=90°,P为BC的中点,小明拿着含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，且绕P旋转。（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，是说明△BPE∽△CFP。（2）将三角板绕点P旋转到如图2所示的位置，三角板的两边分别交BA的延长线和边AC于点E、F。探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）。探究2：连接EF，△BPE与△EFP是否相似？请说明理由。

Answer 1

分析：（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；
（2）①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明．解答：（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
∴∠EPF=30°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：①△BPE∽△CFP；②△BPE与△PFE相似．
下面证明结论：
同（1），可证△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 BP：BE=PF：PE．
又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．点评：这是一道操作探究题，它考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的30°三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．

Answer 2

（1）
证明：
∵⊿ABC为等腰直角三角形
∴∠B=∠C=45º
∴∠CPF+∠CFP=180º-∠C=135º
∵∠BBE+∠CPF=180º-∠EPF=135º
∴∠BPE=∠CFP
∴⊿PBE∽⊿CFP（AA‘）
（2）
探究1：△BPE与△CFP还相似
∵∠CPF+∠CFP=∠BBE+∠CPF
探究2：，△BPE与△EFP不相似
连接AP，∵AP是中线，根据三线合一，AP⊥BC
∴∠BPA=90º
∠BPE=90º+∠APE
∵⊿EFP是等腰直角三角形
∠PEF=90º
∴∠BPE是钝角＞∠PEF
∴△BPE与△EFP不相似

Answer 3

：（1）∵等腰Rt△ABC
∴∠B=∠C=45°
∵∠EPF=45°
∴∠BPE+∠CPF=∠CPF+∠CFP=135°
则∠BPE=∠CFP
在△BPE与△CFP中
{∠BPE=∠CFP；∠B=∠C=45°
∴△BPE∽△CFP
解（2）①相似
②△EPF∽△BPE
理由如下：
∵△BPE∽△CFP
∴BP:PE=CF:FP
∵P是BC的中点
∴CP:PE=CF:FP
即CP:CF=PE:FP
在△CPF与△EPF中
CP:CF=PE:FP；∠EPF=∠CPF=45°
∴△CPF∽△EPF
∵△BPE∽△CFP
∴△EPF∽△BPE

Answer 4

：（1）∵等腰Rt△ABC
∴∠B=∠C=45°
∵∠EPF=45°
∴∠BPE+∠CPF=∠CPF+∠CFP=135°
则∠BPE=∠CFP
在△BPE与△CFP中
{∠BPE=∠CFP；∠B=∠C=45°
∴△BPE∽△CFP
解（2）①相似
②△EPF∽△BPE
理由如下：
∵△BPE∽△CFP
∴BP:PE=CF:FP
∵P是BC的中点
∴CP:PE=CF:FP
即CP:CF=PE:FP
在△CPF与△EPF中
CP:CF=PE:FP；∠EPF=∠CPF=45°
∴△CPF∽△EPF
∵△BPE∽△CFP
∴△EPF∽△BPE

Answer 5

探究2:
∵△BPE∽△CFP
∴∠BPE=∠CFP
EP/PF=BP/CF
∵P为BC中点
∴BP=CP
∴EP/PF=CP/CF
又∵∠EPF=∠B=45°
∴△EPF∽△PCF
∴∠PFC=∠EFP
又∵∠BPE=∠CFP
∴∠EFP=∠EPF
又∵∠B=∠EPF=45°
∴△BPE∽△PFE