Question

已知函数f(x)=x^-k^2+k+2(k∈Z),且f(2)<f(3)

1.求k的值 2. ,试判断是否存在正数p，使函数g(x)=1-pf(x)+(2p-1)x,在区间[-1,2]上的值域为[-4,17/8].若存在，求出p的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1. 由题，因为f(2)<f(3)
所以-k^2+k+2>0
即(k+1)(k-2)<0,
k∈(-1,2)
又∵k∈N
所以k=1,
f(x)=x^2

2. g(x)= -mx^2 + (2m-1)x+1 ,
g(2)= -4m+4m-2+1=-1,
必有 g(-1)= 2-3m= -4 或 2-3m= 17/8
(1) 2-3m = -4 => m=2 , g(x)= -2 x^2 + 3x+1,
开口向上的抛物线， 对称轴 x=3/4
在区间[-1,2]上的值域是 [-4,17/8] ；
(2) 2-3m = 17/8 => m= -1/24 , g(x)= x^2 /24 -13x /12 +1 ,
计算可知：在区间[-1,2]上的值域不是 [-4,17/8]
综上所述： m=2

Answer 2

（1）已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)，
∵f（2）＜f（3），∴-k2+k+2＞0，即k2-k-2＜0，
∵k∈Z，∴k=0或1
（2）存在p=2，使得结论成立，证明如下：
由（1）知函数解析式为f（x）=x2，
g(x)=1-p•x2+(2p-1)x=-p(x- 2p-1/ 2p )2+ 4p2+1/ 4p
①当 2p-1 /2p ∈[-1，2]，即p∈[ 1/ 4 ，+∞)时，
4p2+1 4p = 17 8 ，p=2，g(-1)=-4，g(2)=-1
②当 2p-1/2p ∈(2，+∞)时，解得- 1 2 ＜p＜0，
∵p＞0，∴这样的p不存在．
③当 2p-1/ 2p ∈(-∞，-1)，即p∈(0， 1 /4 )时，
g(-1)= 17 8 ，g(2)=-4，解之得，这样的p不存在．
综①②③得，p=2．
即当p=2时，结论成立．