Question

关于导函数的问题，紧急。

在百科上看到两段对于我这个初学者来说，矛盾的两句话

1.导函数的概念涉及： 的对于区间（ , ）上任意点处都可导，则 在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为 的导函数，记作 。（也就是说，每一个可导的点，只有一个导数，是这样吗？）

2　“点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数. （这句话是什么意思，如果只有一个可导点只有一个函数的话，那么点动成线，是什么意思？）

另外这张图片上只经过X0的一元函数就是导函数吧。

还有问题，f'的最后得数取决于什么？我只知道在极点（忘了是不是这么写）？的时候，是为0 。 那其他的时候呢？f'的得数和原函数是否有关系？

而且，已我现在看来，好像所有的函数的任一点都可导的感觉，什么情况下不可导？

Answer 1

1、从几何意义上来理解，某一个x点对应的导数相当于函数曲线在此点处的斜率，即在此点处，与函数曲线相切的那条直线的斜率。只有在区间上的每一个x点，所对应的函数曲线上都存在斜率，才能说，在此区间上，原函数存在导函数。

某些情况下，函数在某点处是不存在斜率的，也就没有导数。

如：分段函数y=|x|，除了x=0以外，在第一象限的斜率都是1，第二象限的斜率都是-1。但在x=0处，不存在斜率（但此函数在x=0处是有定义的）。再如反比例函数y=1/x，在x=0处无定义，所以在此点处也不存在斜率。

以上例子说明，函数图像不连续，在“断裂”处肯定没导数。另一方面，即使函数图像连续，在某些特殊点处也可能没有导数。

“每一个可导的点，只有一个导数”，这个理解可以成立。但如果“函数”只有一个定义点，这还叫函数么？在这个唯一的定义点上，没有左右连续点，如何确定此点处的斜率？自然，不会有导数的。

2、导数与导函数概念也是有区别的。导数仅仅是某一个x点上的斜率。而导函数是许多连续的x点上的导数与自变量x形成的一一对应的函数关系的表达式。

如：y=x²这个函数，在x=0处的导数是0，在x=1处的导数是2，在x=2处的导数是4，……。y=x²的导函数是y=2x。

3、导函数与原函数是有依存关系的。没有原函数，哪来的导函数？导函数可以根据一些计算公式求出来的。
要计算某点处的导数，可以直接将此点x值代入导函数计算；当然，也可以在原函数上计算此x点处的斜率，即△y／△x的极限。

追问

哇，同学，你真棒，我的思路开始渐渐清晰了，不过我还是有一点不太明白，那就是

为什么一定要△y／△x的 【极限】呢？一定要极限，为什么。

追答

以y=x²函数为例，此函数在x=3处的导数是6，即函数图像上点(3,9)处的切线斜率是6，这个斜率6是如何计算出来的呢?

可以这样设想，有一条直线穿越点A(3,9)，并且也穿越A点附近一点B(当然B点也是函数图像上的点)。

假设B点坐标是(4,16)，那么经过A、B两点的直线斜率就是(y2-y1)/(x2-x1)=(16-9)/(4-3)=7。但是，由于B点离A点尚有一定间距，很明显，这条直线并非是A点的切线，而只是一条割线而已，这样算出的斜率7也不能算作A点的斜率(导数)。

如果将B点再向A点拉近一些，比如是(3.5,12.25)，那么直线AB的斜率就是(12.25-9)/(3.5-3)=6.5。但此时A、B之间仍然是有间距的，自然，直线AB还是不能算作点A的切线，斜率6.5也不能算作点A的导数。

将B再向A拉近一些，比如是(3.01,9.0601)，此时A、B靠的很近了（但间距还是存在的），直线AB的斜率是(9.0601-9)/(3.01-3)=6.01，这个斜率已非常接近A点真正的斜率6了。

可以想象，当A、B两点间距无限缩小，则△y／△x的极限就是A点的斜率（导数）。

设△x=t，则B点横坐标是3+t，纵坐标是(3+t)²=9+6t+t²，
则△y=6t+t²。
A点的斜率就是：
lim t→0 △y／△x
= lim t→0 (6t+t²)/t
= lim t→0 6+t
= 6

所以，A点的导数就是以上的极限值6。

以上极限求导的思路也可以用于计算y=x²的导函数：
设A点坐标是(x,x²)，△x=t，则B点坐标为(x+t,(x+t)²)
A点的导数是：
lim t→0 △y／△x
= lim t→0 ((x+t)²-x²) / t
= lim t→0 (x²+2xt+t²-x²) / t
= lim t→0 (2xt+t²) / t
= lim t→0 2x+t
=2x

A点的导数是2x，说明A点导数与自变量x具有函数关系。
把A点看作动点，则原函数y=x²的导函数就是y=2x。

计算A点在x=3处的斜率（或导数），就可以直接将x=2代入导函数计算：
y=2x=2*3=6

Answer 2

百科是垃圾，全部是东抄西摘，文字不经加工，思维不过大脑，建议看专业书籍。

1.导函数的概念涉及： 的对于区间（ a,b ）上任意点处都可导，则 在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为f(x)的导函数，记作f'(x) 。（也就是说，每一个可导的点，只有一个导数，是这样吗？）
最后括号里的数是完全错误的，导数是导函数的缩写或简写，并不说导数就是一个具体的数。在某一个特定的点，导（函）数为一特定的值。

2　“点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数. （这句话是什么意思，如果只有一个可导点只有一个函数的话，那么点动成线，是什么意思？）

导函数和普通的函数一样，需要处处存在才行。单独的一点是不存在导数的。

另外这张图片上只经过X0的一元函数就是导函数吧。

还有问题，f'的最后得数取决于什么？我只知道在极点（忘了是不是这么写）？的时候，是为0 。 那其他的时候呢？f'的得数和原函数是否有关系？
f'(x)最后的得数，也就是值取决于自变量的值。f'(x)的得数当然与原函数有关系。原函数、导函数都有相互关系的。通过微分或积分运算建立两者关系。

而且，已我现在看来，好像所有的函数的任一点都可导的感觉，什么情况下不可导？

不可导的情况很多，随便举一个y=|x|在x=0处就不可导

追问

*则 在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数* 能帮我解释以下这句话吗？谢谢。

追答

这句话的意思是，导函数也是函数。