Question

极限证明

求证方程x的3次-9x-1=0恰好有三个实根，求详细过程

Answer 1

f（x）=x³-9x-1
求导
f′（x）=3x²-9
x=±√3时，取得极值。
x<-√3为增区间，x>√3时，函数也递增
f（-10）= -992<0，小于-10，那么肯定<-992,与x轴无交点。
f（-√3）=6√3-1>0
因为递增，所以在（-无穷 ，√3]之间只有一个实根。
同理，f（√3）= -6√3-1<0
f（10）>0
所以在√3到正无穷，必有只有一个实根。

中间是下降的一段，可以画出图形方便理解。
f（-√3）>0
f√3)<0
那么函数递减，必有x轴上一个交点，也只有一个实根。

综上（-无穷，-√3]有一个实根
（-√3，+√3）有一个实根
[√3，正无穷)有一个实根

一共三个。希望对你有帮助……

Answer 2

这个题目没有要你求具体的根的值，可以用简便方法。
首先3次方程肯定最多只有3个实根。
而函数f(x)在区间(a,b)上至少有一个根的条件是
f(a)·f(b)<0
对函数 f(x) = x^3 - 9x - 1 我们可以很轻易的找到
f(3)·f(4) = -1×27 = -27<0
f(0)·f(-1) = -1×7 = -7<0
f(-1)·f(-3) = 7×(-1) = -7<0
因此函数f(x)=0的三个根分别在 (-3,-1)、(-1,0)和(3,4)这三个区间之内，又因为是3次方程，故有且仅有这三个根。

Answer 3

f(X)=x^3-9x-1,f'(x)=3x^2-9,一阶导数为0的点有2个，x=1和x=-1，很容易知道，在x<-1和x>1时，f'(x)>0，f(x)是增函数，在-1<x<1的时候，f'(x)<0，f(x)是减函数，而f(-1)=7, f(1)=-9, f(-10)=-991, f(10)=909。所以f(X)在-10和-1之间有一个零点，-1和1之间有一个零点，1和10之间有一个零点，共有3个根