Question

如图,在直角坐标系中,抛物线y=ax^2+bx+c(a不等于0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点

抛物线交y轴与点C（0，3），点D为抛物线顶点直线y=x-1交抛物线于点MN两点，过线段MN上一点P做y轴的平行线交抛物线于点Q
设E为线段OC上的三等分点，连接EPEQ若EP=EQ求P

Answer 1

抛物线y=ax^2+bx+c(a不等于0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点, 则该抛物线可表示为

y = a(x + 1)(x -3) = ax² -2ax -3a

抛物线交y轴与点C（0，3), 3 = -3a, a = -1

y = -x² + 2x + 3

E为线段OC上的三等分点, E(0, 1)或E(0, 2)

设P(p, p-1) (在y = x -1上）

则Q(p, -p² + 2p + 3)

(1) E(0, 1)

EP=EQ, (p-0)² + (p-1-1)² = (p-0)² + (-p² + 2p + 3 - 1)²

p² +(p-2)² =p² +(p²  -2p - 2)²

(p-2)² = (p²  -2p - 2)²

(a) p²  -2p - 2 = p -2

p(p-3) = 0

p = 0, P(0, -1) Q(0, 3), 与C重合

p = 3, P(3, 2), Q(3, 0), 与B重合 (此时P在线段MN以外，舍去）

(b) p²  -2p - 2 = -p +2

p²  -p - 4 = 0

此为M,N，不考虑。

(2) E(0, 2)

EP=EQ, (p-0)² + (p-1-2)² = (p-0)² + (-p² + 2p + 3 - 2)²

p² +(p-3)² =p² +(p²  -2p - 1)²

(p-3)² = (p²  -2p - 1)²

(a) p²  -2p - 1 = p -3

(p-1)(p-2) = 0

p = 1, P(1, 0), Q(1, 4)

p = 2, P(2, 1), Q(2, 3)

(b) p²  -2p - 1 = -p +3

p²  -p - 4 = 0

此为M,N，不考虑。

Answer 2

解析：
由两点式可设y=a(x+1)(x-3) 有x=0时 y=3=a*(-3) a=-1，所以y=-(x+1)(x-3)
由题意可知点E的坐标为(0,1)。因为直线与抛物线交于M、N两点，即-x^2+2x+3=x-1
所以：x^2-x-4=0的两根为M、N两点的横坐标
令P(x0,x0-1),则Q(x0,-xo^2+2xo+3)
因为：EP=EQ，所以√[xo^2+(2-xo)^2]=√[xo^2+(xo^2-2xo-2)^2]
两边平方并整理可得：xo(xo-4)(x^2-x-4=0)=0
因为P在MN之间，且PQ不应重合，所以xo=0，即P(0,-1),此时Q(0,3)

Answer 3

由两点式可设y=a(x+1)(x-3) 有x=0时 y=3=a*(-3) a=-1
y=-2(x+1)(x-3)
点P为(0.-1) 点Q为(0.-3) 点E为(0,1) EP=EQ

Answer 4

把ABC分别带入，可求得abc的值

Answer 5

应该不止一个答案