Question

求下列不定积分∫

求下列不定积分∫sec^3乘以x乘以dx

Answer 1

∫ sec³x dx = ∫ secx*sec²x dx
= ∫ secx dtanx，分部积分法，sec²x的积分是tanx
= secx*tanx - ∫ tanx dsecx，分部积分法
= secx*tanx - ∫ tanx*(secx*tanx) dx，secx的导数是secx*tanx
= secx*tanx - ∫ secx(sec²x-1) dx，恒等式1+tan²x = sec²x
= secx*tanx - ∫ sec³x dx + ∫ secx dx，将∫sec³x dx移到等号左边，变为2个∫ sec³x dx
2∫sec³x dx = secx*tanx + ∫ secx*(secx+tanx)/(secx+tanx) dx，上下分别乘以secx+tanx
∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ (secx*tanx+sec²x)/(secx+tanx) dx
= (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ d(secx+tanx)/(secx+tanx)，等同公式∫ 1/u du，u=secx+tanx
∴∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)ln|secx+tanx| + C