Question

（高中数学）求解一道均值不等式的题目：

题目在图片里，要用均值，要按照一正二定三相等这个口诀来做。

Answer 1

已知x>0，y>0，x²+4y²+xy=1，求x+2y的值域。
解：令u=x+2y，则
u²=(x+2y)²=x²+4y²+4xy=x²+4y²+xy+3xy=1+3xy=1+(3/2)(x)(2y)≦1+(3/2)[(x+2y)/2]²=1+3(x+2y)²/8
8(x+2y)²≦8+3(x+2y)²，5(x+2y)²≦8，(x+2y)²≦8/5，故得x+2y≦√(8/5)=2(√10)/5.
当且仅仅当x=2y，且x²+4y²+xy=1时等号成立。将x=2y代入得4y²+4y²+2y²=10y²=1，y²=1/10，
故 y=(√10)/10，x=(√10)/5;；

Answer 2

解：由已知得（x+2y)²-3xy=1, (x+2y)²=1+3xy=1+3/2×x·2y≤1+3/2×[(x+2y)/2]²
∴5(x+2y)²/8≤1 x+2y≤2√10/5,当且仅当x=2y且x²+4y²+xy=1,即x=√10/5,y=√10/10的时候取等号

Answer 3

z=x+2y z^2=x^2+4Y^2+4xy=1+3xy
x^2+4y^2>=4xy x^2+4y^2+xy=1
所以，5xy<=1 xy<=1/5
0<z^2=1+3xy<=8/5
0<z<=(2/5)根号10

Answer 4

解：由x²+4y²+xy=1得(x+2y)²=3xy+1≤3(x+2y)²/4 +1
∴-2≤x+2y≤2
又x>0,y>0
∴0<x+2y≤2.

Answer 5

x^2+4y^2+4xy-3xy=1;
(x+2y)^2-3xy=1;
(x+2y)^2=1+3xy;
因为x>0,y>0,所以
(x+2y)^2>=4xy;
xy<=(x+2y)^2/4;
(x+2y)^2-1=3xy<=3(x+2y)^2/4;
0<(x+2y)<=2(当且仅当x=2y时取等号）