Question

若0<a<b,且a+b=1,将a^2+b^2,2ab,a,b,1/2从小到大排列

要过程

Answer 1

首先做差法比较a²＋b²与2ab的大小
∵0＜a＜b
a²＋b²－2ab＝﹙a－b﹚²＞0
∴a²＋b²＞2ab
∴﹙a＋b﹚²＝a²＋b²＋2ab＝1
2ab＝1－a²－b²
∴a²＋b²－2ab＝a²＋b²－1＋a²＋b²＞0
2﹙a²＋b²﹚＞1
a²＋b²＞½
a²＋b²＋2ab＞2ab
﹙a＋b﹚²＞2ab
2ab＜1
ab＜½
a＋b＝1
b＝1－a
∵0＜a＜b
0＜a＜1－a
0＜2a＜1
0 ＜a＜½＜b
∴½＜b＜1
a²＋b²－b＝a²＋b﹙b－1﹚＝a²－ab＝a﹙a－b﹚＜0
b＞a²＋b²
作商法比较2ab与a,b的大小
2ab／a＝2b
1＜2b＜2
∴2ab＞a
2ab／b＝2a
0＜2a＜1
∴2ab＜b

综上所述：a²＋b²＞2ab
½＜b＜1
0＜a＜½
a＜2ab＜b
ab＜½
2ab＜1
b＞a²＋b²
∴b＞a²＋b²＞2ab＞½＞a

追问

但是你怎麼知道2ab＞½?

追答

a^2＋b^2＞2ab
a^2＋b^2＋2ab＞2ab＋2ab
﹙a＋b﹚^2＞4ab
4ab＜1
∴ab＜¼
∴2ab＜½

Answer 2

(a-b)²=a²+b²-2ab>0
所以a²+b²>2ab
(a+b)²=1=a²+b²+2ab
所以a²+b²+2ab>4ab>1
a+b=1
0<a<b 所以a+b=1>2a 所以a+b=1<2b
2a*b<b
2a<1 所以a<1/2
2b>1 所以b>1/2
b²+a²=（1-a)²+a²=2a²-2a+1=2a²-2a+a+b
b²+a²-b=2a²-2a+a+b-b=2a²-a=a(2a-1)<0
所以b>a²+b²

所以a<2ab<1/2<a²+b²<b

追问

你怎麼知道1/2<2ab?

追答

是1/2>2ab
因为(a+b)=1
(a+b)²=a²+b²+2ab=1>4ab
所以2ab<1/2

追问

你怎知道1/2<a²+b², a<2ab?

追答

因为(a-b)²>=0
(a-b)²=a²+b²-2ab>=0
a²+b²>=2ab
(a+b)²=1
(a+b)²=a²+b²+2ab>2ab+2ab
1>2ab+2ab
1>4ab
1/2>2ab

a+b=1
02a
1>2a b*1>b*2a

Answer 3

因为a+b=1，而且只是比较大小，假设a=1/4,b=3/4计算可得，
10/16、6/16、4/16、12/16、8/16.
故由小到大为：a、2ab、1/2、a^2+b^2、b

Answer 4

a^2+b^2-2ab=(a-b)^2>0, a^2+b^2>2ab
0<a<1/2<b,2a<1<2b
2ab/b=2a<1, 2ab<b
2ab/a=2b>1, 2ab>a
a<2ab<b
ab<(a+b)^2/4=1/4, 2ab<1/2
a^2+b^2>b>1/2>2ab>a

Answer 5

巧做
因为是比较大小
所以我可以令
a=0.1 b=0.9