Question

几何 关于圆的证明题

自圆O外一点A向圆引切线AS、AT，又引割线APQ交圆P、Q，并与ST交于R。证1/AP+1/AQ=2/AR

Answer 1

取PQ的中点B，连结OA交ST于点C，连结OB、OS
∴∠OBR＝90°＝∠OCR
∴O、B、R、C四点共圆
∴AR·AB＝AC·AO
在Rt△OSA中，SC⊥OA，由射影定理得：AS^2＝AC·AO
∴AS^2＝AR·AB
又AS是切线
∴AS^2＝AP·AQ
∴AP·AQ＝AR·AB＝AR·(AQ－BQ)＝AR·(AQ－1/2PQ)＝AR·[AQ－1/2(AQ－AP)]
∴2AP·AQ＝AR·(AQ＋AP)
∴2/AR＝1/AP＋1/AQ

Answer 2

提示：连接OS交AQ与U，OA交ST于V，设AQ与圆交于W
分别证明OURV和OQWV共圆，从而AR*AU=AO*AV=AQ*AW
变形就是要证的式子

追问

不好意思，我图上少标了点P，点P就是AQ与圆交点 题中说了割线APQ嘛

追答

无所谓，不影响理解