Question

已知双曲线中心在原点且一个焦点为(根号7,0)直线Y=x-1与双曲线相交于MN两点,MN中点的横坐标为负2/3.求...

已知双曲线中心在原点且一个焦点为(根号7,0)直线Y=x-1与双曲线相交于MN两点,MN中点的横坐标为负2/3.求双曲线的标准方程

Answer 1

将y=x-1代入(x²/a²)-(y²/b²)=1
整理得(b²-a²)x²+2a²x-a²-a²b²=0
韦达定理得
x1+x2=2a²/(a²-b²)
则(x1+x2)/2=a²/(a²-b²)＝-2/3
又c²=a²+b²=7
解得a²=2,b²=5
标准方程(x²/2)-(y²/5)=1

Answer 2

可设双曲线方程
(x²/t)-[y²/(7-t)]=1 0＜t＜7
与直线y=x-1联立可得
(2t-7)x²-2tx+8t-t²=0
由题设可得
(2t)²-(2t-7)(8t-t²)＞0且2t/(2t-7)=-4/3
∴t=2.
∴双曲线方程为
(x²/2)-(y²/5)=1

Answer 3

已知双曲线中心在原点且一个焦点为(根号7,0)直线Y=x-1与双曲线相交于MN两点,MN中点的横坐标为负2/3.求双曲线的标准方程