Question

已知f(x)对一切x满足xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x) 若f(x)在x=0处取极值,证明:x=0是f(x)的极小值点

谢谢

Answer 1

因为f''(x)存在，所以f'(x)是连续的。
由xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)得
f"(x)=[1-e^(-x)]/x-3[f'(x)]^2
可以看出当x不为零时，f''(x)也是连续的。
于是lim(x-->0)f''(x)=lim(x-->0){[1-e^(-x)]/x-3[f'(x)]^2}
=lim(x-->0){x/x-3[f'(x)]^2}=1>0.
所以由保号性，存在0点的一个空心邻域，
使得在这个空心邻域内有f''(x)>0,所以f'(x)单调递增.
根据取极值的必要条件知f'(0)=0，所以当x<0时
有f'(x)<f'(0)=0, 函数f(x)单调递减；
当x>0时有,f'(x)>f(0)=0,所以函数f(x)单调递增。于是f(0)是函数f(x)的一个
极小值.