Question

离散数学 第七章一个例题，有关偏序关系的证明

问题如下：设<A,R>和<B,S>为偏序集，有集合A*B上定义关系T如下：
任意（那个全程量词打不出来）<a1,b1>，<a2,b2>属于A*B,
<a1,b1>T<a2,b2>等价于a1Ra2∧b1Sb2，（其中数字是下标，这个打不出来，你懂得）
证明：T为A*B上得偏序关系？
我不懂这个<a1,b1>T<a2,b2>里面T插入中间到底是什么意思，好像没见过这种写法啊，麻烦哪位数学高手给出一个详细的过程。

Answer 1

T插中间表示(<a1,b1>, <a2, b2>)属于T。

证：要证T为A*B上得偏序关系，只需证T是自反的、反对称的、传递的；

(1)任取<a,b>属于A*B，由<A,R>和<B,S>为偏序集，故aRa（即<a,a>属于R）和bSb，故aRa∧bSb；由条件知aRa∧bSb <=> <a,b>T<a,b>。故(<a,b>, <a,b>)属于T。由自反性的定义知T是自反的。

(2)任取(<a1,b1>, <a2,b2>）属于T，若(<a2,b2>, <a1,b1>)属于T，由<A,R>和<B,S>为偏序集，故若<a1,a2>属于R且<a2,a1>属于R，则由反对称性知<a1,a2> = <a2, a1>，即a1Ra2 = a2Ra1；同理，b1Sb2 = b2Sb1。故<a1,b1>T<a2,b2> <=> a1Ra2∧b1Sb2 <=> a2Ra1∧b2Sb1 <=> <a2,b2>T<a1,b1>。故<a1,b1> = <a2,b2>。由反对称的定义知T是反对称的。

(3)任取<a1,b1>, <a2,b2>, <a3,b3>属于A*B，使(<a1,b1>, <a2,b2>)属于T且(<a2,b2>, <a3,b3>)属于T。由<A,R>和<B,S>为偏序集，故若<a1, a2>属于R且<a2, a3>属于R，则由传递性知<a1,a3>属于R，即a1Ra2∧a2Ra3 => a1Ra3；同理，若b1Sb2∧b2Sb3 => b1Sb3。
由<a1,b1>T<a2,b2> <=> a1Ra2∧b1Sb2，<a2,b2>T<a3,b3> <=>a2Ra3∧b2Rb3，得<a1,b1>T<a2,b2> ∧ <a2,b2>T<a3,b3> <=> (a1Ra2∧b1Sb2)∧(a2Ra3∧b2Rb3) <=> (a1Ra2∧a2Ra3)∧(b1Sb2∧b2Sb3) => a1Ra3∧b1Sb3 <=> <a1,b1>T<a3,b3>。故（<a1,b1>, <a3,b3>)属于T。由传递的定义知T是传递的。

综上所述，由偏序关系的定义知T为A*B上得偏序关系。