Question

f（x）=x+1/x-2,x属于【3,7】（1）判断函数的单调性，并证明；（2）求函数的最大值和最小值。

Answer 1

f(x) = (x+1)/(x-2) = (x-2+3)/(x-2) = 1 + 3/(x-2)
x属于【3,7】
∵x-2在定义域内单调增
∴3/(x-2)在定义域内单调减
∴f(x) = 1 + 3/(x-2)在定义域内单调减

证明：
令3≤x1＜x2≤7
f(x2)-f(x1) = 【1 + 3/(x2-2)】-【1 + 3/(x1-2)】
= 3{1/(x2-2)-1/(x1-2)}
= 3(x1-x2)/{(x2-2)(x1-2)}
∵3≤x1＜x2，∴x2-2＞0，x1-2＞0，∴{(x2-2)(x1-2)}＞0
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0
∴= 3(x1-x2)/{(x2-2)(x1-2)}＜0
∴f(x2)＜f(x1)，得证。

单调减
x=3时取最大值f(3) = (3+1)/(3-2) = 4
x=7时取最小值f(7 = (71)/(72) = 8/5

Answer 2

这种题目最好用定义去做，用差减法去做
解：（1）原式=1+（3/x-2）设X1 < X2 ∴f（x1）-f（x2）=（3/x1-2）-（3/x2-2)
∵x1<x2 ∴f（x1）-f（x2）>0 ∴f（x1）>f（x2）∴函数是单调递减
（2由上题可知函数是单调递减的减函数
∴f（x）min=f（7）=8/5 f（x）max=f（3）=4

不会的话，可以再问

Answer 3

化简后得 x-2+3/x-2=1+3/(x-2) 所以是单调递减的。 最大值在x=3 F(x)=4 最小值在x=7
F(x)=8/5