Question

计算由下列各曲线所围成图形的面积：y=1/2x^2, x^2+y^2=8(两部分都要计算)

Answer 1

1、求交点，将x^2=2y代入圆方程，得y^2+2y+1=9 y=±3-1，y=-4舍去，故y=2，x=±2
2、对圆和抛物线的重叠部分从-2到2定积分，得面积S1，圆弧方程y=√（8-x^2），积分函数为：
ψ（x）=√（8-x^2）-1/2x^2
∫[√(8 - x²) - x²/2]dx
=∫√(8 - x²)dx - ∫(x²/2)dx
=½ x√(8 - x²) + 4arcsin(x/√8) - x³/6 +C
S1=2+π-4/3-（-2-π+4/3）=2π+4-8/3）=2π+4/3
3、计算圆剩下的部分S2=S圆-S1 =8π-（2π+4/3）=6π-4/3

Answer 2

公式就是这个，自己算下吧

追问

答案里有pai 是怎么出来的

追答

应该是做了个换元积分，x=根号下（8（cosx）^2） y=根号下（8（sinx）^2）这个是从圆的公式得来的，因为在一个坐标系中，另一个式子也用这个变换，带入后积分中有一项是对（cosx）^2的积分会产生带π的，这一项积分用cos2x=2（cosx）^2-1变换，再把dx改成d2x，积分限变一下就求出来了