Question

高中简单的解析几何

已知圆C过定点F(-1/4,0),且与直线x=1/4相切,圆心C的轨迹为E,E与直线l:y=k(x+1)（k∈R）相交于A、B两点①求曲线E的方程②在曲线E上是否存在与k的取值无关的定点M，使得MA⊥MB？若存在，求出所有符合条件的定点M;若不存在，请说明理由

Answer 1

1.假设圆心C的坐标为（Cx，Cy）圆的半径为r则可以得到两个方程：（x-Cx）^2+(y-Cy)^2=r^2和Cx-1/4=r。联立两个方程得到一个关于Cx，Cy的方程，也就是曲线E的方程:y^2=-x/2（x<＝0）
2.联立y=k(x+1)（k∈R）和y^2=-x/2（x<＝0）解得x1,2＝[-(2k^2+1/2)+-根号（2k^2+1/4）]/(2k^2)
即可得到A，B的坐标，假设M坐标为（Mx，My），则首先M在曲线E上，然后假设MA⊥MB，利用两直线垂直的定理，得到一个关于Mx，My和k的方程组。由于三个未知数单有两个方程，所以只能经过各种化简尽可能用k来表示Mx，My，如果能表示的出，则不存在M点，如果化简后无需用k来表示，则存在定点M
说明由于我是十二年前参加高考，所以只能想到这个比较笨的办法，但印象里应该有个比较简单的方法证明第二问。

Answer 2

呵呵 真简单啊！！！！
圆心C的轨迹是抛物线（到定点的距离等于到直线的距离），方程式y^2 = - x
求解方法：根据两点间距离的平方 等于 点到直线距离的平方；然后化简 就出来啦

定点M存在，是原点
求解方法：联立两个相交方程，用y表示x，得出两个根的和 与积；根据向量乘积为0 证明垂直 简单