Question

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．
（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）
（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．

Answer 1

解：(1)成立. 　　(2)成立.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠DCE=90°，AD=CD.
　又∵EC=DF，∴△ADF≌△DCE.
　　∴∠E=∠F，AF=DE.
　　又∵∠E+∠CDE=90°，∴∠F+∠CDE=90°.
∴∠FGD=90°.∴AF⊥DE.
(3)正方形.
证明：∵AM=ME，AQ=DQ，
∴MQ∥ED， MQ=1/2DQ.
同理NP∥ED， NP=1/2ED
∴MO∥NP且MO=NP
.∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵ME=MA，NE=NF，
∴MN∥AF，MN=1/2AF
又∵AF=ED，∴MQ=MN.
∴平行四边形MNPQ是菱形.
∵AF⊥ED，MQ∥ED，∴AF⊥MQ. 　　
又∵MN∥AF，∴MN⊥MQ.
∴∠QMN=90°.
∴菱形MNPQ是正方形.

Answer 2

解：（1）∵DF=CE，DE=AF，且∠AFD=∠DEC，
∴△DEC≌△AFD；
∴结论①、②成立

（2）结论①、②仍然成立理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中AD=DC∠ADC=∠DCBCE=DF，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），
∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；

（3）结论：四边形MNPQ是正方形
证明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ= 12DE，
同理可证：PN∥DE，PN= 12DE；MN∥AF，MN= 12AF；PQ∥AF，PQ= 12AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=∠QMN=∠MNP=∠NPQ=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．

Answer 3

：（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，
∴△DEC≌△AFD；
∴结论①、②成立（1分）

（2）结论①、②仍然成立．理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中
AD=DC∠ADC=∠DCBCE=DF​，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；（5分）

（3）结论：四边形MNPQ是正方形证明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ=12DE，
同理可证：PN∥DE，PN=12DE；MN∥AF，MN=12AF；PQ∥AF，PQ=12AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=∠QMN=∠MNP=∠NPQ=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．

Answer 4

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马上参与 解：(1)成立. 　　(2)成立.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠DCE=90°，AD=CD.
　又∵EC=DF，∴△ADF≌△DCE.
　　∴∠E=∠F，AF=DE.
　　又∵∠E+∠CDE=90°，∴∠F+∠CDE=90°.
∴∠FGD=90°.∴AF⊥DE.
(3)正方形.
证明：∵AM=ME，AQ=DQ，
∴MQ∥ED， MQ=1/2DQ.
同理NP∥ED， NP=1/2ED
∴MO∥NP且MO=NP
.∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵ME=MA，NE=NF，
∴MN∥AF，MN=1/2AF
又∵AF=ED，∴MQ=MN.
∴平行四边形MNPQ是菱形.
∵AF⊥ED，MQ∥ED，∴AF⊥MQ. 　　
又∵MN∥AF，∴MN⊥MQ.
∴∠QMN=90°.
∴菱形MNPQ是正方形.

Answer 5

其他都跟楼上的差不多、、、不过（1）中①成立，②不成立

Answer 6

无聊啊~百度真无聊