Question

求积分 x^2/根号下a^2-x^2 dx (a>0)

Answer 1

∫x^2dx/√（a^2-x^2)
=-∫(a^2-x^2)dx/√（a^2-x^2)+∫a^2dx/√（a^2-x^2）
=-∫√（a^2-x^2)dx+a^2∫dx/√（a^2-x^2）
对∫√（a^2-x^2)，设x=asint,dx=acostdt,t=arcsin(x/a),
sin2t=2sintcost=2(x/a)*√（1-x^2/a^2)=2(x/a^2)√（a^2-x^2)
∫√（a^2-x^2)=∫acost*acostdt=(a^2/2)∫(1+cos2t)dt=a^2t/2+a^2sin2t/4+C1
=a^2arcsin(x/a)/2+x√（a^2-x^2)/2+C1
∴原式=-a^2arcsin(x/a)/2-x√（a^2-x^2)/2+a^2arcsinx/a+C.
=a^2arcsin(x/a)/2-x√（a^2-x^2)/2+C.

Answer 2

看到根号有平方就一般是考率正余炫函数换元！
令x=acosk 反解出k=arccos(x/a）
dx=-asink dk
k取值（0,180）度
换元可得：
原式=(acosk)^2 dk
=a^2[(1+cos2k)/2]dk
=a^2(k/2+sin2k/4)
再把k带入即可求解。

希望没做错，能对你有帮助！！

Answer 3

他们的解法都不对