求积分 x^2/根号下a^2-x^2 dx (a>0) 20
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∫x^2dx/√(a^2-x^2)
=-∫(a^2-x^2)dx/√(a^2-x^2)+∫a^2dx/√(a^2-x^2)
=-∫√(a^2-x^2)dx+a^2∫dx/√(a^2-x^2)
对∫√(a^2-x^2),设x=asint,dx=acostdt,t=arcsin(x/a),
sin2t=2sintcost=2(x/a)*√(1-x^2/a^2)=2(x/a^2)√(a^2-x^2)
∫√(a^2-x^2)=∫acost*acostdt=(a^2/2)∫(1+cos2t)dt=a^2t/2+a^2sin2t/4+C1
=a^2arcsin(x/a)/2+x√(a^2-x^2)/2+C1
∴原式=-a^2arcsin(x/a)/2-x√(a^2-x^2)/2+a^2arcsinx/a+C.
=a^2arcsin(x/a)/2-x√(a^2-x^2)/2+C.
=-∫(a^2-x^2)dx/√(a^2-x^2)+∫a^2dx/√(a^2-x^2)
=-∫√(a^2-x^2)dx+a^2∫dx/√(a^2-x^2)
对∫√(a^2-x^2),设x=asint,dx=acostdt,t=arcsin(x/a),
sin2t=2sintcost=2(x/a)*√(1-x^2/a^2)=2(x/a^2)√(a^2-x^2)
∫√(a^2-x^2)=∫acost*acostdt=(a^2/2)∫(1+cos2t)dt=a^2t/2+a^2sin2t/4+C1
=a^2arcsin(x/a)/2+x√(a^2-x^2)/2+C1
∴原式=-a^2arcsin(x/a)/2-x√(a^2-x^2)/2+a^2arcsinx/a+C.
=a^2arcsin(x/a)/2-x√(a^2-x^2)/2+C.
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看到根号有平方就一般是考率正余炫函数换元!
令x=acosk 反解出k=arccos(x/a)
dx=-asink dk
k取值(0,180)度
换元可得:
原式=(acosk)^2 dk
=a^2[(1+cos2k)/2]dk
=a^2(k/2+sin2k/4)
再把k带入即可求解。
希望没做错,能对你有帮助!!
令x=acosk 反解出k=arccos(x/a)
dx=-asink dk
k取值(0,180)度
换元可得:
原式=(acosk)^2 dk
=a^2[(1+cos2k)/2]dk
=a^2(k/2+sin2k/4)
再把k带入即可求解。
希望没做错,能对你有帮助!!
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