Question

已知函数f(x)=1/(e^x+1),g(x)=-x^2+4x-3,对于任意的a,存在b使方程f(a)=f(b)成立，求b的取值范围

Answer 1

应该是 f(a)=g(b) 吧？？？？

因为 e^x>0，所以 0<f(a)<1。
令 0<g(b)<1，即 0<-b^2+4b-3<1，
解 0<-b^2+4b-3 得 b^2-4b+3<0，(b-1)(b-3)<0，
所以 1<b<3；
解 -b^2+4b-3<1 得 b^2-4b+4>0，(b-2)^2>0，
所以 b≠2。
因此，所求的b的取值范围是：（1，2）U（2，3）。

Answer 2

已知函数f(x)=1/(e^x+1),g(x)=-x²+4x-3,对于任意的a,存在b使方程f(a)=g(b)成立，求b的取值范围
解：f(x)=1/(e^x+1)的定义域为(-∞，+∞)，且在整个定义域内单调递减，x→-∞limf(x)=1；
x→+∞limf(x)=0，故对任意的a,有0<f(a)<1；
g(x)=-x²+4x-3=-(x²-4x)-3=-[(x-2)²-4]-3=-(x-2)²+1，是一条开口朝下，顶点在(2，1)的抛物线，由
g(x)=-(x²-4x+3)=-(x-1)(x-3)=0，得其零点为x₁=1，x₂=3；当1<x<3时0<g(x)≦1;；故1<b<2或2<b<3.