Question

已知椭圆4X^2+y^2=1及y=x+m

1.求三角形AOB的面积的最大值

Answer 1

解：y=x+m代入椭圆方程中，化简得到5x^2+2mx+m^2-1=0，利用韦达定理
XA+XB=-2m/5—— ①，XA*XB=(m^2-1)/5——②
根据弦长公式可得
AB=根号[2((XA+XB)2-4XA*XB)]——③
将 ①②两式③中得
AB=2根号（10-8m^2）/5
点O(0，0)到直线AB的距离为
h=|m|/根2
故Smax=1/2*|m|/根2﹡AB
化简可得
Sm=
[根号下（20m^2-16m^4）]/10
另t=m^2，
S=[根号下（-4t^2+5t）]/5
此时即求二次函数的最大值，当t=5/8时，Sm=1/4
所以最大值为1/4
本题主要考查了曲线与方程的交点问题，熟练掌握弦长公式可简化过程

Answer 2

4x^2+y^2=1
y=x+m
4x^2+(x+m)^2=1
5x^2+2mx+m^2-1=0
x1+x2=-2m/5
x1x2=(m^2-1)/5
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=[4m^2-20(m^2-1)]/25=(20-16m^2)/25
|x1-x2|=√(20-16m^2)/5
S=OF1*|x1-x2|/2
=c|x1-x2|/2

4x^2+y^2=1
x^2/(1/4)+y^2/1=1
a^2=1,b^2=1/4 c^2=a^2-b^2=3/4
c=√3/2
S=(√3/100)(√(20-16m^2)
m=0时
S最大=(√3/100)*√20=√15/25