Question

如图，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在

如图，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点．线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t,求四边MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围

Answer 1

答案】(1)若要四边形MNQP为矩形，则有MP=QN，此时由于∠PMA=∠QNB=90°，∠A=∠B=60°，所以Rt△PMA≌Rt△QNB，因此AM=BN.移动了t秒之后有AM=t，BN=3-t，由AM=BN，t=3-t 即得 t=1.5. 此时Rt△AMP中，AM=1.5，∠A=60°，所以MP= ，又MN=1，所以矩形面积为 .
(2)仍按上题的思路，如果M，N分列三角形底边AB中线两端，由于AM=t，所以MP= t，由于BN=4-t-1=3-t，所以NQ= (3-t)，因为MN=1，所以梯形MNQP的面积为 •MN•(MP+QN)= ×( t+ (3-t))= 为定值（即不随时间变化而变化）。这时要求 1<t<2.
若 t<=1 或者 t≥2 则M，N两点都在底边中线同侧，如第二个图和第三个图所示.在第二个图中，BM=t，BN=1+t，所以梯形面积为S= ×1×[ t+ (3-t))]= (2t+1)，此时0≤t≤1.
类似地也可求得 2≤t≤=3 时的情况，此时面积为 S= (7-2t).

Answer 2

<1> 当MN的中点与AB的中点重合时，MNQP为矩形，那么MN的中点，应该是由距A点5毫米处，移动到距A点20毫米处，移动距离为15毫米，速度是1毫米/秒，故时间t为15秒。

<2> 在移动过程中，四边形MNQP是一个梯形，而开始和结束的两个状态为三角形，可以看做是梯形的特殊形态（上底或下底为0），中间状态为矩形，也可以看做是梯形的特殊形态（上底=下底）。
又因为移动过程是沿着AB的中垂线对称的，可以简化。
梯形的面积S=（上底+下底）×高/2。
而，上底MP=（20-|t-20|）×tan60°，注意绝对值符号。
下底NQ=（20-|t-10|）×tan60°，
高MN=10。
故，S=[（20-|t-20|）+（20-|t-10|）]×tan60°×5。
简化：【S=（40-|t-20|-|t-10|）×tan60°×5】

因，MN的移动就是N移动到B的过程
故，【0≤t≤30】

回到第一个个问题，将15秒带入函数，
得到：MNQP的面积 = 30×tan60°×5 = 259.80762113533159402911695122588

与CAD作图得到的面积一致。