Question

问一道初二数学题

如图，两个等腰△CBA和△CDE，顶角∠ECD=顶角∠BCA，点F是线段AD和BE的交点，连接CF，探究并证明∠CFA与∠CFE的数量关系。

Answer 1

答：两个角相等，且等于等原来两个等腰三角形的底角。
即：∠CFA=∠CFE=∠CAB=∠CED
证明：在三角形ACD与三角形BCE中，AC=BC，DC=EC
因为顶角∠ECD=顶角∠BCA
所以∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE=∠BCE
所以三角形ACD全等于三角形BCE
所以∠CAD=∠CBE，∠CDA=∠CEB
所以ABFC四点共圆，CFDE四点共圆
所以：∠CFA=∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CFE=∠CDE=∠CED。

追问

还有其他方法吗？我没学四点共圆。

追答

四点共圆其实就是三角形的正弦定理的变形。
如原图所示：如果能知道∠CAD=∠CBE，则三角形ACF外接圆的半径R=CF/(2sin∠CAF)
而三角形CBF的外接圆的半径R'=CF/(2sin∠CBF)
因而R=R'
所以四点共圆.
四点共圆的特性就是同一条弦在同一边所对的弦角相等,由三角形的正弦定理可以证明.
我不知道还有没有其它更好的办法.呵呵.