Question

对于函数f(x)=log1/2(x^2-2ax+3),若函数的值域为R,求实数a的取值范围

http://zhidao.baidu.com/question/323317594.html?an=0&si=2
这个问题里面 为什么不用△<0 而是大于等于0呢？
我的问题是 “最小值大于0，就不能取尽所有正数”这是什么意思呢？我觉得能取尽啊

对数函数的真数不是大于零吗？
那△就要小于零二次函数的图像才和X轴没交点啊Y才能大于零啊
诶，等一下..
“二次函数就不能小于等于0”的意思是不是说这个时候X的取值必须让二次函数的值大于零 所以只是导致了X的取值范围被限制在使二次函数的值大于零的范围？
说这么多我自己有点乱了。。。不知道表述清楚没 求教

Answer 1

真数大于0，没有错，但真数的值域不一定非要是(0,正无穷)啊，
真数的值域可以是(1,正无穷)，也可以是(-1，正无穷)，也可以是(-1,1)等等；
比如真数的值域是(-1,1)时，我在用对数的时候只要不取小于0的部分，只取(0,1)就行了；
比如真数的值域是(-1,正无穷)时，我在用对数的时候只取(0,正无穷)即可；

而要使对数的值域为R，则真数一定要能取尽所有正数，即真数的值域要包含(0,正无穷)这个区间；
比如，如果真数的值域是(1,正无穷)时，对数的值域显然是不可能为R的；
所以，判别式△≥0；
当△<0时，真数的值域哪怕是(0.0000000001,正无穷)，你画出对数的图像，就知道它的值域不是从负无穷到正无穷。。。

Answer 2

首先 f(X)这个函数的真数必须大于0 这样的话就相当于取到了所有的定义域里的值
根据图像log1/2(X) 真数大于0的话 值域不就是R了吗
所以说 X^2-2aX+3 整体要取到所有大于0的数 这样就保证了上述条件
这是一个开口向上的函数
如果△小于0的话 说明二次函数最小值是大于0的
也就是有一些正数取不到了
所以当△大于0时 二次函数能取到所有正数
f(X)也就可以取到所有值
当△=0时 是恰好的情况
所以答案必须是△≥0

追问

如果△小于0的话 说明二次函数最小值是大于0的
也就是有一些正数取不到了
那可以取那些数？
我怎么觉得刚好可以取所有的啊啊。。。T T 想了几个小时都没想通啊内牛满面啊

追答

别急 慢慢想
比如说x^2-2ax+3的值域只能取到大于1的数
注意说得是y的取值范围

不就是说log1/2(X)这个函数中的自变量X只能大于1了
这样的话log1/2(X)就有一段值域取不到了
因为它是一一映射的函数

Answer 3

本题只研究值域问题，虽然函数本身对定义域有限制，但与本题关系不大。
logx值域为R的条件是x取遍所有正数，只要x是正数，就肯定有比它更小的正数，因此x的最小值要小于等于0。