Question

A1=0,aN+1=an+2n-1,求数列an的通项公式

Answer 1

解：法一：（累加法）
∵an+1=an+2n-1，
∴an-an-1=2（n-1）-1，
an-1-an-2=2（n-2）-1，
a3-a2=2×2-1，
a2-a1=2×1-1．
以上各式左右两边分别相加得
an-a1=2[1+2+3+…+（n-1）]-（n-1）
=n（n-1）-（n-1）=（n-1）2．
∴an=（n-1）2．
法二：（迭代法）
∵an+1=an+2n-1，
∴an=an-an-1+an-1
=（an-an-1）+（an-1-an-2）+an-2
=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1
=2（n-1）-1+2（n-2）-1++2×2-1+2×1-1+0
=（n-1^2．

（法一）an+1-an=2n-1可得an-an-1=2n-3，…a2-a1=1利用累加法可求an．
（法二）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，由已知可得an-an-1=2n-3，代入可求．

Answer 2

∵a1=0 a(n+1)=an+2n-1
∴a(n+1)-an=2n-1
∴ an-a(n-1)=2(n-1)-1
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)-1
......
a2-a1=2*1-1
将上面n-1个式子加起来得：
an-a1=2*1+2*2+...+2*（n-2)+2*（n-1)-（1+1+...+1）
=2*[1+2+....+（n-1）]-(n-1）
=2*（n-1)（1+n-1）/2 -（n-1)
=n(n-1)-(n-1)
=(n-1)^2
又∵a1=0
∴an=(n-1)^2

追问

这个是怎么解出的a2-a1=2*1-1 还有n(n-1)-(n-1)是怎么解出的，请详解，谢谢！

追答

a2-a1=2*1-1
是用1去换a(n+1)-an=2n-1中的n
an-a(n-1)=2(n-1)-1
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)-1
......
a3-a2=2*2-1
a2-a1=2*1-1
将上面n-1个式子加起来(左边加左边，右边加右边）得：
an-a1=2*1+2*2+...+2*（n-2)+2*（n-1)-（1+1+...+1）
=2*[1+2+....+（n-1）]-(n-1）
=2*（n-1)（1+n-1）/2 -（n-1)
=2*(n-1)n/2-(n-1)
=n(n-1)-(n-1)
=(n-1)^2
又∵a1=0
∴an=(n-1)^2

追问

请问能加你吗，我想要交一个数学很好的网友~(@^_^@)~

追答

可以呀 灰常乐意！