Question

已知函数f(x)=x3+lg(x+根号下（x2+1）)+2,在负无穷到0上有最小值-5，则函数在0到正无穷的最大值等于？

Answer 1

因为，[x+√(x²+1)][-x+√(x²+1)] = 1 ，即有：-x+√(x²+1) = 1/[x+√(x²+1)] ，
所以，lg[-x+√(x²+1)] = -lg[x+√(x²+1)] ；

令 g(x) = f(x)-2 = x³+lg[x+√(x²+1)] ，
则 g(-x) = (-x)³+lg{-x+√[(-x)²+1)]} = -x³+lg[-x+√(x²+1)] = -x³-lg[x+√(x²+1)] = -g(x) ，

已知，f(x) 在 (-∞,0) 上有最小值 -5 ，
可得：g(x) = f(x)-2 在 (-∞,0) 上有最小值 -5-2 = -7 ；
因为，g(x) 是奇函数，
所以，g(x) 在 (0,+∞) 上有最大值 7 ，
可得：f(x) = g(x)+2 在 (0,+∞) 上有最大值 7+2 = 9 。