Question

已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．

（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

Answer 1

解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．

（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB＞90°，∠CBD=∠CDB=

12

（180°-x）=90°-

12

x，∠A=180°-x-y．
此时只能有∠A=∠ABD，即180°-x-y=y-（90°-

12

x），
∴3x+4y=540°，即∠ABC=135°-

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∠C．

②若∠C是底角
第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．
由AB=AD，得2x=y-x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．
由AB=BD，得180°-x-y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C．
由AD=BD，得180°-x-y=y-x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于45°的任意锐角．
第二种情况，如图3，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°-x＞90°，此时只能有AD=BD，
从而∠A=∠ABD=

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∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD=BC不成立．
综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135°-

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∠C．
或∠ABC=3∠C．

 

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Answer 2

第一个问题
分割方法一：
在AC上取一点D，使AB＝AD，连结BD。则：△ABD、△BDC为两个等腰三角形。
此时∠ABD＝∠ADB=45°；　∠DBC＝∠DCB＝22.5°。

分割方法二：
取BC的中点为E，连结AE。则：△ABE、△ACE为两个等腰三角形。
此时∠EAB＝∠EBA＝67.5°；　∠EAC＝∠ECA＝22.5°。

第二个问题
令过点B的直线交AC于D。
∵△BCD、△ABD都是等腰三角形，
一、当∠BDC＝∠BCD时，有：∠BDC＞∠BAC，∴∠BCA＞∠BAC。
　　这与△ABC中∠C最小相矛盾，∴应舍去这种情况。

二、当∠DCB＝∠DBC时，
　　①若∠BDA＝∠A，则有：∠ADB＝（180°－∠ABD）/2，∠BDC＝180°－2∠C。
　　　显然有：∠ADB＋∠BDC＝180°，∴（180°－∠ABD）/2＋180°－2∠C＝180°，
　　　∴（180°－∠ABD）/2－2∠C＝0，∴180°－∠ABD－4∠C＝0，
　　　∴∠ABD＝180°－4∠C，∴∠ABD＋∠DBC＝180°－3∠C，∴∠ABC＝180°－3∠C。
　　　此时，要满足：∠ABC＞∠C，∴180°－3∠C＞∠C，∴∠C＜45°。
　　　又∠BAC＝∠BDA＞∠C。
　　　∴只要∠C＜45°，就能满足条件。　这时，∠ABC＝180°－3∠C。
　　②若∠BDA＝∠DBA，则有：∠BDA＝2∠C，∴∠DBA＝2∠C，
　　　∴∠DBA＋∠DBC＝3∠C，∴∠ABC＝3∠C。
　　　此时，要满足：∠A＞∠C，而∠A＝180°－2∠DBA＝180°－4∠C，
　　　∴180°－4∠C＞∠C，∴∠C＜36°。
　　　∴只要∠C＜36°，就能满足条件。这时，∠ABC＝3∠C。
　　③若∠A＝∠ABD，则有：∠ADB＝180°－2∠ABD，∠BDC＝180°－2∠C，
　　　显然有：∠ADB＋∠BDC＝180°，∴（180°－2∠ABD）＋（180°－2∠C）＝180°，
　　　∴180°－2∠C＝2∠ABD，∴∠ABD＝90°－∠C，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，
　　　∴∠ABC＝90°。
　　　此时，要满足∠A＞∠C，∴90°－∠C＞∠C，∴∠C＜45°。
　　　∴只要∠C＜45°，就能满足条件。这时，∠ABC＝90°。

三、当∠CDB＝∠CBD时，
　　①若∠BDA＝∠A，则有：∠A＞∠C，
　　　且∠ADB＝（180°－∠ABD）/2，∠BDC＝（180°－∠C）/2，
　　　显然有：∠ADB＋∠BDC＝180°，∴（180°－∠ABD）/2＋（180°－∠C）/2＝180°，
　　　∴180°－∠ABD＋180°－∠C＝360°，∴∠ABD＋∠C＝0°。这自然是错误的，应舍去。
　　②若∠BDA＝∠DBA，则有：∠ABD＝∠BDA＝∠C＋∠CBD，
　　　而∠CBD＝（180°－∠C）/2，∴∠ABD＝∠C＋（180°－∠C）/2，
　　　∴∠ABD＋∠CBD＝∠C＋180°－∠C，∴∠ABD＝180°。这也是错误的，应舍去。
　　③若∠A＝∠ABD，则有：∠ADB＝180°－2∠ABD，∠BDC＝（180°－∠C）/2，
　　　显然有：∠ADB＋∠BDC＝180°，∴（180°－2∠ABD）＋（180°－∠C）/2＝180°，
　　　180°－2∠ABD＋90°－∠C/2＝180°，∴2∠ABD＋∠C/2＝0°。还是错误的，应舍去。

综上所述，满足条件的∠ABC与∠C间的数量关系有三种：
第一种：∠ABC＝180°－3∠C；第二种：∠ABC＝3∠C；第三种：∠ABC＝90°，与∠C无关。

Answer 3

（2）∠ABC=3∠C，理由如下：
设∠C=x
∴∠DBC=X
∵∠ADB为△DBC的外角
∴∠ADB=x+x=2x
∴∠ABD=2X
又∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=x+2x=3x
即∠ABC=3∠C