Question

高等代数问题，求解！

设多项式f(x)=0,h(x)为任意多项式。证明：若(f(x),g(x))=1,则(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))，问反之是否成立？
条件是：设多项式f(x)≠0,h(x)为任意多项式（看错了），其它不变！

Answer 1

你写错了。条件是f(x)、g(x)为多项式，h(x)为任意多项式。
（1）
若(f(x),g(x))=1，
对取定的任意多项式h(x)，可设(f(x),h(x))=q(x)，则存在多项式r(x)、s(x)，使得
f(x)=q(x)r(x)，h(x))=q(x)s(x)，且(r(x),s(x))=1。
由(f(x),g(x))=1可得(q(x)r(x),g(x))=1，可得到(r(x),g(x))=1。
由上面得到的两个式子，得：
(r(x),s(x)g(x))=1，
所以
(f(x),g(x)h(x))=(q(x)r(x),q(x)s(x)g(x))=q(x)(r(x),s(x)g(x))=q(x)。
由假设即得到(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))，
由h(x)的任意性可得（1）成立。
（2）
反之，若(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))成立，
由h(x)的任意性，取定h(x)=1，代入可得：
(f(x),g(x))=(f(x),1)=1。所以也成立。

注解：(f(x),h(x))=q(x)定义为多项式q(x)是多项式f(x)和h(x)的最大公因式。等同于整数的最大公因子。

追问

条件是：设多项式f(x)≠0,h(x)为任意多项式

追答

不错，是我考虑简单了。再证如下：
设多项式f(x)≠0,h(x)为任意多项式
（1）
对任意取定的多项式h(x)，由于多项式f(x)≠0，可设(f(x),h(x))=q(x)，q(x)是f(x)与h(x)的最大公因式，则存在多项式r(x)、s(x)，使得
f(x)r(x)+h(x)s(x)=q(x)成立。（*）
若(f(x),g(x))=1，则多项式g(x)≠0，存在多项式u(x)与v(x)使得
f(x)u(x)+g(x)v(x)=1成立。（**）
把（**）式左右两端同乘以h(x)，替换(*)的“h(x)”，整理后可得：
f(x)[r(x)+h(x)u(x)]+h(x)g(x)[v(x)s(x)]=q(x)，
此即
(f(x),g(x)h(x))=q(x)。
由假设即得到(f(x),g(x)h(x))=q(x)=(f(x),h(x))，
由h(x)的任意性可得（1）成立。
（2）
反之，若(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))成立，
由h(x)的任意性，取定h(x)=1，代入可得：
(f(x),g(x))=(f(x),1)=1。所以也成立。

注解：(f(x),h(x))=q(x)定义为多项式q(x)是多项式f(x)和h(x)的最大公因式。等同于整数的最大公因子。

Answer 2

本人高三，高等数学是大学学的吗？不过我可以说说我的看法，
∵(f(x),g(x))=1可以看成向量的坐标表示吧
且f(x)=0
∴g(x)=1
∴(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x)）
反之应该不成立。我也不知道。

Answer 3

你应该看看书(f(x),g(x))=1还可以表示成等式关系吧