高等代数问题,求解!

设多项式f(x)=0,h(x)为任意多项式。证明:若(f(x),g(x))=1,则(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x)),问反之是否成立?条件是:设多项式... 设多项式f(x)=0,h(x)为任意多项式。证明:若(f(x),g(x))=1,则(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x)),问反之是否成立?
条件是:设多项式f(x)≠0,h(x)为任意多项式(看错了),其它不变!
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原清高y
2011-11-14 · TA获得超过106个赞
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你写错了。条件是f(x)、g(x)为多项式,h(x)为任意多项式。
(1)
若(f(x),g(x))=1,
对取定的任意多项式h(x),可设(f(x),h(x))=q(x),则存在多项式r(x)、s(x),使得
f(x)=q(x)r(x),h(x))=q(x)s(x),且(r(x),s(x))=1。
由(f(x),g(x))=1可得(q(x)r(x),g(x))=1,可得到(r(x),g(x))=1。
由上面得到的两个式子,得:
(r(x),s(x)g(x))=1,
所以
(f(x),g(x)h(x))=(q(x)r(x),q(x)s(x)g(x))=q(x)(r(x),s(x)g(x))=q(x)。
由假设即得到(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x)),
由h(x)的任意性可得(1)成立。
(2)
反之,若(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))成立,
由h(x)的任意性,取定h(x)=1,代入可得:
(f(x),g(x))=(f(x),1)=1。所以也成立。

注解:(f(x),h(x))=q(x)定义为多项式q(x)是多项式f(x)和h(x)的最大公因式。等同于整数的最大公因子。
追问
条件是:设多项式f(x)≠0,h(x)为任意多项式
追答
不错,是我考虑简单了。再证如下:
设多项式f(x)≠0,h(x)为任意多项式
(1)
对任意取定的多项式h(x),由于多项式f(x)≠0,可设(f(x),h(x))=q(x),q(x)是f(x)与h(x)的最大公因式,则存在多项式r(x)、s(x),使得
f(x)r(x)+h(x)s(x)=q(x)成立。(*)
若(f(x),g(x))=1,则多项式g(x)≠0,存在多项式u(x)与v(x)使得
f(x)u(x)+g(x)v(x)=1成立。(**)
把(**)式左右两端同乘以h(x),替换(*)的“h(x)”,整理后可得:
f(x)[r(x)+h(x)u(x)]+h(x)g(x)[v(x)s(x)]=q(x),
此即
(f(x),g(x)h(x))=q(x)。
由假设即得到(f(x),g(x)h(x))=q(x)=(f(x),h(x)),
由h(x)的任意性可得(1)成立。
(2)
反之,若(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))成立,
由h(x)的任意性,取定h(x)=1,代入可得:
(f(x),g(x))=(f(x),1)=1。所以也成立。

注解:(f(x),h(x))=q(x)定义为多项式q(x)是多项式f(x)和h(x)的最大公因式。等同于整数的最大公因子。
特沃斯
2011-11-13 · TA获得超过1269个赞
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本人高三,高等数学是大学学的吗?不过我可以说说我的看法,
∵(f(x),g(x))=1可以看成向量的坐标表示吧
且f(x)=0
∴g(x)=1
∴(f(x),g(x)h(x))=(f(x),h(x))
反之应该不成立。我也不知道。
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zhouming_feng
2011-11-13 · TA获得超过881个赞
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你应该看看书(f(x),g(x))=1还可以表示成等式关系吧
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