如图,矩形ABCD中,AB=2根号3,AD=4,M是AD的中点。动点E在线段AB上运动。连接EG,FG,在点E运动的过程中
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证明:
由MG垂直于EF,且可证明EM=MF,则GM为三角形EGF的中线和高
所以EG=FG,三角形EGF是等腰三角形
设MG与DC交于H点
设AE=x,则由三角形AEM相似于三角形DMH可得DH=4/x
则HC=2倍根号3-4/x
再由三角形MDH相似于三角形GCH可得MD/CG=DH/CH
可得CG=x*根号3-2
则BG=BC+CG=4+x*根号3-2=2+x*根号3
又BE=AB-AE=2倍根号3-x
所以GE^2=BG^2+BE^2=16+4x^2
EM^2=AE^2+ME^2=4+x^2
所以GE^2/EM^2=(16+4x^2)/(4+x^2)=4
所以GE/EM=2
所以交MGE=30度
所以GM是角EGF的角平分线
所以角EGF=60度
所以三角形EGF为等边三角形
由MG垂直于EF,且可证明EM=MF,则GM为三角形EGF的中线和高
所以EG=FG,三角形EGF是等腰三角形
设MG与DC交于H点
设AE=x,则由三角形AEM相似于三角形DMH可得DH=4/x
则HC=2倍根号3-4/x
再由三角形MDH相似于三角形GCH可得MD/CG=DH/CH
可得CG=x*根号3-2
则BG=BC+CG=4+x*根号3-2=2+x*根号3
又BE=AB-AE=2倍根号3-x
所以GE^2=BG^2+BE^2=16+4x^2
EM^2=AE^2+ME^2=4+x^2
所以GE^2/EM^2=(16+4x^2)/(4+x^2)=4
所以GE/EM=2
所以交MGE=30度
所以GM是角EGF的角平分线
所以角EGF=60度
所以三角形EGF为等边三角形
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