Question

线性代数：满秩、行满秩、列满秩矩阵与另一矩阵的相乘后，新的矩阵的秩？

如Am*n矩阵，另一矩阵B:
1、A为满秩矩阵时，则r(AB)=r(BA)=r(B);
2、A为行满秩矩阵时，则r(BA)=r(B);
3、A为列满秩矩阵时，则r(AB)=r(B).

我对此理解起来很吃力，我通过举例子预算，以上结论确实成立，但脱离距离例子我就大脑很混乱了。
我想请教您：第一，1-3的结论为什么成立，很希望您给我指导，具体如何证明的？
第二，还有就是对于矩阵B，是不是运算时，无论左乘A还是右乘A只要满足矩阵的初等运算法则这个基本条件就行了？

Answer 1

1、A为满秩矩阵
那么A是可逆方阵
一方面有 r(AB) <= r(B)
另一方面 r(B) = r(A^-1(AB)) <= r(AB)
所以 r(AB) = r(B).

另一个同理.

3. A为列满秩矩阵时
考虑齐次线性方程组 ABX=0 与 BX = 0
因为 A为列满秩, 所以 A(BX)=0 则必有 BX=0. 故 它们同解

2. A为行满秩矩阵时
A的转置为列满秩, 利用(3)的结论即得.