Question

高中一年级数学函数增减性的判断

已知定义在R上的函数F(x)对任意x,y恒有F(x)+F(y)=F(x+y),且当X>0时，F(x)<0，又F(1)=-1
（1）判断函数的奇偶性，并证明
（2）求证：为F(x)R上的减函数

Answer 1

(1)令x=0,y=0 所以F(0)+F(0)=F(0) 所以F（0)=0
然后令y=-x ,则F（x）+F(-x)=F(x+(-x))=F(0)=0
所以F(X)+F(-X)=0，所以F(-X)=-F(X)
所以F(X)是奇函数
（2)由结论1得F(-X)=-F(X)
当X>0时，F(X)<0，
所以-F(X）=F(-X)>0>F(X)
又因为X>0，所以-X<0，则X>-X
所以当X>-X时,F(X)<F(-X)
所以F(X)是R上的减函数

Answer 2

已知定义在R上的函数F(x)对任意x,y恒有F(x)+F(y)=F(x+y),且当X>0时，F(x)<0，又F(1)=-1
（1）判断函数的奇偶性，并证明
（2）求证：为F(x)R上的减函数

解:(1)由已知定义在R上的函数F(x)对任意x,y恒有F(x)+F(y)=F(x+y),且当X>0时，F(x)<0，又F(1)=-1
⇒F(0)+F(1)=F(0+1)=F(1)
⇒F(0)=0.
由F(-x)+F(x)=F(-x+x)=F(0)=0
⇒函数F(x)在R上是奇函数.

(2)证
设0<x1<x2.
由F(x)在R上是奇函数
⇒-F(x1)=F(-x1)
由F(x)+F(y)=F(x+y)
⇒F(x2)-F(x1)=F(x2)+F(-x1)=F(x2-x1).
0<x1<x2
⇒x2-x1>0
而当X>0时，F(x)<0
⇒F(x2-x1)<0
⇒F(x2)-F(x1)<0
⇒F(x2)<F(x1)
∴F(x)在(0,+∞)上是减函数;

设x1<x2<0.
F(x)在R上是奇函数
⇒-F(x1)=F(-x1)
F(x)+F(y)=F(x+y)
⇒F(x2)-F(x1)=F(x2)+F(-x1)=F(x2-x1).
x1<x2<0
⇒x2-x1>0
当X>0时，F(x)<0
⇒F(x2-x1)<0
⇒F(x2)-F(x1)<0
⇒F(x2)<F(x1)
∴F(x)在(-∞,0)上也是减函数;

综上.
F(x)为R上的减函数.

Answer 3

l

Answer 4

已知定义在R上的函数F(x)对任意x,y恒有F(x)+F(y)=F(x+y),且当X>0时，F(x)<0，又F(1)=-1
（1）判断函数的奇偶性，并证明
（2）求证：为F(x)R上的减函数
解:(1)由已知定义在R上的函数F(x)对任意x,y恒有F(x)+F(y)=F(x+y),且当X>0时，F(x)<0，又F(1)=-1
⇒F(0)+F(1)=F(0+1)=F(1)
⇒F(0)=0.
由F(-x)+F(x)=F(-x+x)=F(0)=0
⇒函数F(x)在R上是奇函数.
(2)证
设0
0
而当X>0时，F(x)<0
⇒F(x2-x1)<0
⇒F(x2)-F(x1)<0
⇒F(x2)
0
当X>0时，F(x)<0
⇒F(x2-x1)<0
⇒F(x2)-F(x1)<0
⇒F(x2)
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Answer 5

这是一个开口向上的二次函数，∵单调递减区间是（—∞，4]，∴对称轴-b/2a=-（a-1)=4
得a=-3