Question

求极限中 等价无穷小替换问题

lim x→1 (x/lnx-1/x-1)
题我会做 但是老师用了另外的方法 过程如下：原式=x^2-x-lnx/lnx(x-1) 将lnx替换为x-1 但是只替换了分母中的lnx 这是为什么 另外如果用替换解题的话 为什么直接将lnx替换为x-1 就变x/x-1-1/x-1=1了。求大神解答

Answer 1

等价无穷小代换只能在乘除法中运用，本题中分母的lnx与其它函数之间是乘除关系，因此可以做等价无穷小代换，而分子中的lnx不可以替换，因为分子中的lnx与其它函数之间涉及了加减运算。加减运算时如果用等价无穷小代换，有时是会出错的，比如本题；而乘除法中用等价无穷小代换不会出错。这就是为什么分母可以换，但分子不能换的原因。