如图,在RT△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A出发沿AC
如图,在RT△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动,点Q从C出发以2cm/s的速度沿C→B→A方向移动,P到...
如图,在RT△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动,点Q从C出发以2cm/s的速度沿C→B→A方向移动,P到达C点时,Q也停止运动.若P、Q两点同时出发,设S△APQ为S,时间为ts.
1.求S与t之间的函数关系式.
2.当t为多少时,S最大? 展开
1.求S与t之间的函数关系式.
2.当t为多少时,S最大? 展开
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(1)在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,根据勾股定理可得,AB=10cm
点P从A到C需要6s,点Q从C到B需要8/2=4s,从B到A需要10/2=5s
由题意可知,0≤t≤6
所以当0≤t≤4时,Q点在BC上,如左图
此时AP=t,CQ=2t
∴S△APQ=1/2×AP×CQ=t²
当4<t≤6时,Q点在AB上,如右图
此时,AP=t,BQ=2t-BC=2t-8,则AQ=AB-BQ=18-2t
过点Q作QD⊥AC于点D
∵∠ADQ=ACB=90°,∠A是公共角
∴Rt△ADQ∽Rt△ACB
∴DQ/BC=AQ/AB,从而可得DQ=AQ×BC/AB=4(18-2t)/5
∴S△APQ=1/2×AP×DQ=2t(18-2t)/5=-4t²/5+36t/5
综上可得,0≤t≤4时,S=t²;4<t≤6时,S=-4t²/5+36t/5
(2)当0≤t≤4时,S=t²单调递增,所以当t=4时,S取到最大值16;
当4<t≤6时,S=-4t²/5+36t/5=-4/5(t-9/2)²+81/5
∵-4/5<0且9/2在4-6之间
∴当t=9/2时,S取到最大值81/5>16
综上可得,当t=9/2时,S取到最大值81/5
(2)
点P从A到C需要6s,点Q从C到B需要8/2=4s,从B到A需要10/2=5s
由题意可知,0≤t≤6
所以当0≤t≤4时,Q点在BC上,如左图
此时AP=t,CQ=2t
∴S△APQ=1/2×AP×CQ=t²
当4<t≤6时,Q点在AB上,如右图
此时,AP=t,BQ=2t-BC=2t-8,则AQ=AB-BQ=18-2t
过点Q作QD⊥AC于点D
∵∠ADQ=ACB=90°,∠A是公共角
∴Rt△ADQ∽Rt△ACB
∴DQ/BC=AQ/AB,从而可得DQ=AQ×BC/AB=4(18-2t)/5
∴S△APQ=1/2×AP×DQ=2t(18-2t)/5=-4t²/5+36t/5
综上可得,0≤t≤4时,S=t²;4<t≤6时,S=-4t²/5+36t/5
(2)当0≤t≤4时,S=t²单调递增,所以当t=4时,S取到最大值16;
当4<t≤6时,S=-4t²/5+36t/5=-4/5(t-9/2)²+81/5
∵-4/5<0且9/2在4-6之间
∴当t=9/2时,S取到最大值81/5>16
综上可得,当t=9/2时,S取到最大值81/5
(2)
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