Question

已知椭圆x^2+3y^2=3与直线y=kx+m k不等于0 相交于M、N两点 且|AM|=|AN| A（0,1）求m的取值范围

如题 速度答题

Answer 1

A（0,1）位于椭圆x^2+3y^2=3（以下所称的椭圆均指该椭圆）的上顶点，因为|AM|=|AN|，所以M和N位于以A（0,1）为圆心的圆（为方便，以下所称的圆均指该圆）上。下面求圆的半径范围：

设圆半径为R，则其方程为：x^2+(y-2)^2=R^2①

x^2=R^2-(y-2)^2②

代入椭圆方程整理得：

2*y^2+2*y+R^2-4=0③

Δ=-8*R^2+36

当Δ=0时，R=3/2*2^0.5

代入③得：y=-0.5

此时圆与椭圆交点的y值只有-0.5，对应的交点为P(1.5,-0.5)和P1(-1.5,-0.5),这种状态圆与椭圆只有两个等高交点，过交点不能作出k≠0的直线。

当Δ>0时，R<3/2*2^0.5，此时交点的y值有两个，得到的交点可作出k≠0的直线。

对于③，求得的两个根的较小值y不能小于-1（椭圆的范围所限），所以

y=(-2-(4-8*(R^2-4))^0.5)/4≥-1

解之得：R≥2

于是，满足题意的圆的半径范围为2≤R<3/2*2^0.5

当R=2时，圆与椭圆有三个交点：(-(3^0.5),0)、(3^0.5,0)、(0,-1)，设连(3^0.5,0)、(0,-1)的直线为L1。

过P作圆的切线L2交y轴于Q，容易求得其坐标为Q(0,-2)。

在圆的半径从2开始，逐渐逼近3/2*2^0.5的过程中，在y轴的右侧，圆与椭圆始终有两个交点，以此作为M、N两点，所得直线从L1开始，逐渐逼近L2，直线与y轴的截距为-1≥m>-2。另外，可将y轴右侧的上方交点与y轴左侧的下方交点作为M、N两点，所得直线从L1开始逐渐逼近直线：y=-0.5，直线与y轴的截距范围为-0.5>m≥-1。由于对称性，关于y轴镜像的情况不必再讨论。

　　综上所述，直线的截距m的范围为-2<m<0.5。

Answer 2

已知椭圆x²+3y²=3与直线y=kx+m ，k≠0 相交于M、N两点 ，且|AM|=|AN| ，A（0，1），求m的取值范围
解：将直线方程y=kx+m代入椭圆方程得x²+3(kx+m)²=(1+3k²)x²+6kmx+3m²=3
即有(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0..............(1)
设M(x₁，y₁)；N（x₂，y₂)；依韦达定理，
x₁+x₂=-6km/(1+3k²).............(1)
y₁+y₂=(kx₁+m)+(kx₂+m)=k(x₁+x₂)+2m=-6k²m/(1+3k²)+2m=2m/(1+3k²)............(2)
其中k=(y₁-y₂)/(x₁-x₂).............(3)
∵|AM|=|AN|，∴AM²=AN²，即有;
x²₁+(y₁-1)²=x²₂+(y₂-1)²，
(x₁+x₂)(x₁-x₂)+(y₁+y₂-2)(y₁-y₂)=0，
(y₁-y₂)/(x₁-x₂)=-(x₁+x₂)/(y₁+y₂-2)，将(1)(2)(3)代入即得：
k=[6km/(1+3k²)]/[2m/(1+3k²)-2]=6km/(2m-2-6k²)
2m-2-6k²=6m， 6k²+4m+2=0， 3k²+2m+1=0
3k²=-2m-1>0，故得m<-1/2，即m∈(-∞，-1/2).这就是m的取值范围。
m是直线y=kx+m在y轴上的截距。

Answer 3

因为点A在椭圆顶点，要使|AM|=|AN| ，
M和N必须关于Y轴对称，即直线MN（y=kx+m）必须与X轴平行
也就是说y＝m
因为椭圆的顶点为（0，1）和（0，－1）
即m大于等于－1，小于等于1
但是如果直线与x轴平行，那么K＝0与题意不符
因此此题无解。

Answer 4

|AM|=|AN| ,A（0,1）
这条直线应该是与y轴平行的直线
那么椭圆x^2/3+y^2=1 的上顶点为（0，1）下顶点为（0，-1）；
那么m的范围就是（-1，1）

追问

如何证明平行？
我要的是全部的过程

Answer 5

设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点Q(x0,y0)，
则有x1²+3y1²=3，x2²+3y2²=3。
相减得：(x2-x1)(x2+x1)+3(y2-y1)(y2+y1)=0。
但x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,(y2-y1)/(x2-x1)=k，
代入得x0+3ky0=0。
因为AM=AN，所以AQ⊥MN，
所以(y0+1)/x0=-1/k,即x0+ky0+k=0。
联立解得：Q(-3k/2,1/2)
代入y=kx+m得：1/2=-3k²/2+mm=(3k²+1)/2。
因为Q在椭圆面区域内部，所以(-3k/2)²+(1/2)²<1,即 0≤3k²<1所以1/2≤(3k²+1)/2<1即m∈[1/2，1）