Question

高手看看这个二元函数的极限为何不存在

求f（x，y）=xy^2/(x^2+y^4)在(0,0)处的极限.我算来算去都是0,可为什么答案说不存在?
一楼:
之前我做的是设y=kx,结果算出是0,为什么要设成x=ky^2?

Answer 1

这是因为二元函数求极限时考虑的是直角坐标系中点的坐标(x,y)的趋近方式哈,,它可以由平面上任意一个方向来趋近的,,不象一元的话只是左右两个方向的..
这里,你设x=ky^2,就是说点(x,y)以x=ky^2这条曲线的轨迹来趋近(0,0)吧,
那么就有:
f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4)=k^2y^2*y^2/(k^2y^4+y^4)
=k^2*y^4/[(k^2+1)*y^4]
=k^2/(1+k^2)
也就是说,按照x=ky^2这条曲线来趋近的话,它的极限是k^2/(k^2+1),,
但同时,k的取值是不一定的,那么极限就不存在了
也就是举例来说,
k=1时,函数极限是1/2;
k=2时,函数极限是4/5;
这样这个函数的极限就是不存在的了...

Answer 2

我代替1楼回答下哈，因为二元函数极限必须是以任何方式接近都是同一个值，LZ你用你的那种方式接近是0，不代表其他方式也是0。换句话说，也就是只要有一种方式算出来和其他方式结果不同，那这个极限就不存在！

Answer 3

因为当x。y->0.0时

xy^2 是x^2+y^4的高阶无穷小

所以不存在