Question

讨论函数f(x)=x^2sin1/x (x≠0) 0 (x=0)在点x=0处的连续性与可导性

书上给出的答案是连续和可导　且x＝0时，导数为0，连续我懂　但这f'(0)=0 我不懂　希望给个详细的解释

Answer 1

利用定义来求

f '(0) = lim(x->0) [ f(x) - f(0) ] / (x-0)

= lim(x->0) x² sin(1/x) / x 

= lim(x->0) x sin(1/x) 无穷小与有界函数的乘积还是无穷小

= 0

一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

扩展资料：

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

参考资料来源：百度百科--函数

Answer 2

f '(0) = lim(x->0) [ f(x) - f(0) ] / (x-0)

= lim(x->0) x² sin(1/x) / x 

= lim(x->0) x sin(1/x) 无穷小与有界函数的乘积还是无穷小

= 0

扩展资料

当x->0时f(x)->f(0),说明函数在0点连续,这是导数存在的必要条件.

接下来用导数的定义求0点的左、右导数：

f'(0+)=lim(x->0+) [f(x)-f(0)]/(x-0)

=lim[x^2*sin(1/x)]/x

=lim[x*sin(1/x)]

是无穷小×有界的形式

所以f'(0+)=0

f'(0-)=lim(x->0-) [f(x)-f(0)]/(x-0)

=lim[x^2*sin(1/x)]/x

=lim[x*sin(1/x)]

还是无穷小×有界的形式

所以f'(0-)=0

综上：由于f'(0+)=f'(0-)=0

所以f'(0)=0

Answer 3

利用定义来求
f '(0) = lim(x->0) [ f(x) - f(0) ] / (x-0)
= lim(x->0) x² sin(1/x) / x
= lim(x->0) x sin(1/x) 无穷小与有界函数的乘积还是无穷小
= 0

Answer 4

已知 f(0)=0，所以
f '(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)[x*sin(1/x)]，
由正弦函数的有界性，上式极限为0，即 f '(0)=0 。