Question

如图,在等腰梯形ABCD中对角线AC,BD相互垂直，该梯形的高与中位线有怎样的大小关系？为什么？

如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC，BD相互垂直，该梯形的高与中位线有怎样的大小关系？为什么？
写步骤，谢谢

Answer 1

解：过点D作DE‖AC,交BC的延长线于点E.
∵AC⊥BD,DE‖AC
∴BD⊥DE
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD
在⊿BDE中，BD⊥DE,DE=AC=BD
∴BE=√2BD
梯形的中位线长就等于等腰直角三角形BDE的中位线长，是1/2BE=√2/2BD
∵⊿BDE是等腰直角三角形，
∴BE边上的高是1/2BE=√2/2BD
由此可知：这个梯形的高等于它的中位线长。

Answer 2

梯形的高=中位线长
过点D画DE∥BC交AC延长线于E,画DF⊥AC,垂足F
等腰梯形ABCD中对角线AC,BD相互垂直
BD⊥DE, BD=AC
∴四边形ACED是平行四边形
∴DE=AC=BD,AD=CE
∴⊿BDE是等腰直角三角形
DF=½BE=½﹙BC＋AD﹚=中位线

Answer 3

解：过点D作DE‖AC,交BC的延长线于点E.
∵AC⊥BD,DE‖AC
∴BD⊥DE
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD
在⊿BDE中，BD⊥DE,DE=AC=BD
∴BE=√2BD
梯形的中位线长就等于等腰直角三角形BDE的中位线长，是1/2BE=√2/2BD
∵⊿BDE是等腰直角三角形，
∴BE边上的高是1/2BE=√2/2BD
由此可知：这个梯形的高等于它的中位线长。

Answer 4

梯形的高=中位线长
过点D画DE∥AC交BC延长线于E,画DF⊥AC,垂足F
等腰梯形ABCD中对角线AC,BD相互垂直
BD⊥DE, BD=AC
∴四边形ACED是平行四边形
∴DE=AC=BD,AD=CE
∴⊿BDE是等腰直角三角形
DF=½BE=½﹙BC＋AD﹚=中位线

Answer 5

该梯形的高与中位线垂直并且相等.

过A作AE∥BD交CB延长线于E。则∵AC⊥BD，∴AE⊥AC。

∵等腰梯形ABCD∴AC=BD.

AD∥EC,AE∥BD,∴AE=BD=AC,

三角形AEC的高即等腰梯形ABCD的高等于EC/2,

等腰梯形ABCD的中位线等于三角形AEC的中位线.

所以,梯形的高与中位线互相垂直并且相等.