Question

如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x2+3x图象的对称轴交于点B．

如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x2+3x图象的对称轴交于点B．
（1）写出点B的坐标
（2）已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为？

Answer 1

解：
抛物线：y=-x²+3x
对称轴为：x=3/2
直线：y=-2x
交点B坐标（3/2，-3)
(2) 另一直角边过C点与DC垂直，或过D点与DC垂直
设C点坐标为：（c，0） (c>0)
则D点坐标为：(0，2c)
DC的斜率为-2
则 PC的斜率为 1/2，并过C点, PC方程为：
y-0=1/2（x-c）
即y=x/2-c/2
与抛物线的交点为：
x/2-c/2=-x²+3x
2x²- 5 x-c=0
x=(5-√（25+8c))/4 < 0 在y轴左侧，舍去,
或 x=(5+√（25+8c))/4>0
y=(5+√（25+8c) -4c)/8
P点坐标为：（(5+√（25+8c))/4，(5+√（25+8c) -4c)/8）
|PC|：|DC|=|OD|：|OC| =2 或 |PC|：|DC|=|OC|：|OD|=1:2
|DC|=√5c
|PC|=√((((5+√（25+8c))/4-c)²+（(5+√（25+8c) -4c)/8）²）
=√5/2* (5+√（25+8c) -4c)/4
=√5 (5+√（25+8c) -4c)/8
由 |PC|=2|DC| 得 c=13/25, P(13/5， 27/50)
由 |PC|=|DC|/2 得 c=11/8， P(11/4， 16/11)

PD的斜率为 1/2，并过D点
y-2c=1/2（x-0）
即y=x/2+2c
与抛物线的交点为：
x/2+2c=-x²+3x
2x²-5x+4c=0
当25-32c=0时，即 c=25/32，PD与抛物线相切，有一个交点
当25-32c <0，即c > 25/32时，PD与抛物线无交点
当25-32c >0, 即 c < 25/32 时，PD与抛物线有两个交点，全在y轴右侧。
x=(5±√（25-32c))/4 > 0
y=(5±√（25-32c) + 16c)/8
P点坐标为：（(5±√（25-32c))/4， (5±√（25-32c) +16c)/8）
|PD|=√（((5±√（25-32c))/4)²+（(5±√（25-32c) +16c)/8-2c）²）
=√（((5±√（25-32c))/4)²+（(5±√（25-32c) )/8）²）
=√5((5±√（25-32c))/8
|DC|=√5c
由 |PD|=2|DC| 得 c=1/2, P1(1/2， 5/4), P2(2 ，2)
由 |PD|=|DC|/2 得 c=1/2 与上同
综上符合条件的P点的坐标有4个：
P(1/2， 5/4)、P(2 ，2)、P(13/5， 27/50)、P(11/4， 16/11)

Answer 2

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/3d7b2013-fc60-4cc1-9a82-9daec3cb9ae8?a=1
解：（1）∵抛物线y=-x2+3x的对称轴为x=-3/2×(-1) =3/2 ，
∴当x=3/2 时，y=-2x=-3，即B点（3/2 ，-3）；

（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，
则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD= √5a．
以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，
当∠CDP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=√5/2 a，设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x2+3x，
根据题意得： x²+(-x²+3x-2a) 2=( √5 a/2 ) ²
( 5 a) ²+( √5 a/2 )²=(-x²+3x)²+(x-a)² ，
解得： x=1/2 a=1/2 ，
则P的坐标是：（1/2 ，5/4 ），
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
当∠DCP=90°时，若PC：DC=OC：OD=1：2，则P（11/4 ，11/16 ），若DC：PD=OC：OD=1：2，则P（13/5 ，26/25 ）．
故答案为：（2，2），（1/2 ，5/4 ），（11/4 ，11/16 ），（13/5 ，26/25 ）．

Answer 3

纠正一下，答案是（1|2，5|4），（2,2），（13|5,26|25），（11|4,11|6），楼上的算错了，谢谢