Question

设W是n维线性空间V的子空间，且0<dimW<n，证明：W在V中的补空间不唯一。

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Answer 1

令w1,...,wm为W的一组基,存在v1,...,v(n-m),使w1,...wm,v1,...,v(n-m)构成V的基,显然由v1,...,v(n-m)生成的空间U为W的补空间,对任意0≠w∈W,w+v1,...,w+v(n-m)生成的空间U'也是W的补.显然U≠U'.如果U=U',则w+v1∈U,又w1∈U,故w∈U,矛盾.