Question

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA垂直面ABCD，PA=AD=2AB，M为PD上的点，若PD垂直面MAB

1，求证；M为PD的中点
2，求二面角A-BM-C的大小

Answer 1

第一个问题：
∵PD⊥平面MAB，∴PD⊥AM，又PA＝AD，∴M为PD的中点。

第二个问题：
令AB＝a。
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又PA＝AD＝2a，∴PD＝2√2a，∴AM＝PD/2＝√2a。

∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA。
∵ABCD是矩形，∴AB⊥AD。
由AB⊥AD、AB⊥PA、PA∩AD＝A，得：AB⊥平面PAD，∴AB⊥AM，
∴BM＝√（AB^2＋AM^2）＝√（4a^2＋2a^2）＝√6a。

∵ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2a、CD∥AB，
又AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD。
显然有：DM＝PD/2＝√2a，∴CM＝√（CD^2＋DM^2）＝√（4a^2＋2a^2）＝√6a。

取BC的中点为E。
∵BM＝√6a、CM＝√6a，∴BM＝CM，∴EM⊥BC。
∵ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2a，∴CE＝BC/2＝AD/2＝a。
∴EM＝√（CM^2－CE^2）＝√（6a^2－a^2）＝√5a。
还有：AC＝√（AD^2＋CD^2）＝√（4a^2＋a^2）＝√5a。

在BM上取一点N，使AN⊥BM、CN⊥BM，则：∠ANC就是二面角A－BM－C的平面角。
由三角形面积公式，有：
（1/2）BM×AN＝（1/2）AB×AM、　（1/2）BM×CN＝（1/2）BC×EM，
∴√6a×AN＝a×√2a、　√6a×CN＝2a×√5a，
∴AN＝a/√3、　CN＝2√5a/√6。

由余弦定理，有：
cos∠ANC＝（AN^2＋CN^2－AC^2）/（2AN×CN）
＝（a^2/3＋4×5a^2/6－5a^2）/［2（a/√3）×（2√5a/√6）］
＝（1/3＋10/3－5）/［4√5/（3√2）］＝－（4/3）×（3√2）/（4√5）＝－√2/√5＝－√10/5。

追问

那能不能用空间向量算呢，那又该怎么算呢。。。

追答

非常抱歉，原来所给的答案中，第二个问题的答案是错误的。现用向量解法更正如下：

以A为原点，AD、AP、AB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用赋值法，令点B、C、D、P的坐标依次为：
（0，0，1）、（2，0，1）、（2，0，0）、（0，2，0）。
第一个问题：
设PM/MD＝a，由定比分点坐标公式，得：
M的坐标是（2a/（1＋a），2/（1＋a），0）。
∴向量AM＝（2a/（1＋a），2/（1＋a），0），　向量PD＝（2，－2，0）。
∵PD⊥平面MAB，∴向量AM⊥向量PD，
∴向量AM·向量PD＝4a/（1＋a）－4/（1＋a）＝0，
∴a＝1，∴PM/MD＝1，∴PM＝MD，∴M是PD的中点。

第二个问题：
由第一个问题的结论，得M的坐标为（1，1，0）。
设过A作AN⊥BM交BM于N，令BN/NM＝b。
由定比分点坐标公式，得：N的坐标为：（b/（1＋b），b/（1＋b），1/（1＋b））。
∴向量NA＝（－b/（1＋b），－b/（1＋b），－1/（1＋b）），
　向量BM＝（1，1，－1）。
∴向量BM·向量NA＝－b/（1＋b）－b/（1＋b）＋1/（1＋b）＝0，
∴b＝1/2。
∴N的坐标为：（1/3，1/3，2/3）。

过N作NE⊥BM与直线BC交于E，令CE/EB＝c。
由定比分点坐标公式，得：E的坐标为（2/（1＋c），0，1）。
∴向量NE＝（2/（1＋c）－1/3，－1/3，1/3）。
∴向量BM·向量NE＝2/（1＋c）－1/3－1/3－1/3＝0，
∴c＝1。
∴向量NE＝（2/3，－1/3，1/3）。

显然，∠ANE是二面角A－BM－C的平面角。
容易求出：向量NA＝（－1/3，－1/3，－2/3）
∴cos∠ANE＝向量NA·向量NE/（｜向量NA｜｜向量NE｜）
＝（－2/9＋1/9－2/9）/［√（1/9＋1/9＋4/9）√（4/9＋1/9＋1/9）］
＝－3/6＝－1/2。
∴∠ANE＝120°，即：二面角A－BM－C的大小为60°。