Question

已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA垂直ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点，

知四棱锥P_ABCD的底面ABCD是菱形，PA垂直ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点，求二面角P－BF－D的大小

Answer 1

求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角

根据条件可知PA⊥AC，AC⊥BD．OF∩BD=O，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥平面BDF，作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF，

所以∠OHC为二面角PD⊥的平面角．在Rt△FOB中，求出OH，从而求出∠OHC的正切值，最后根据二面角C-BF-D的平面角与二面角P-BF-D的平面角互补求出所求即可．

解：∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC．

Answer 2

连结AC、BD交点点O，则AC⊥平面BOF，则AO⊥BF。在三角形BOF中，作OH⊥BF于点H，则：BF⊥OH，所以BF⊥平面POH，则∠PHO就是二面角P—BF—D的平面角。在三角形POH中，PO=(√5/2)a，PA=(√5/2)a，OH=(√3/4)a，则cos∠PHO=√15/20，则：
∠PHO=arccos(√15/20)

Answer 3

连BD交点点O，则AC⊥平面BOF，则AO⊥BF。在三角形BOF中，作OH⊥BF于点H，则：BF⊥OH，所/2)a，PA=(√5/2)a，OH=(√3/4)a，则cos∠PHO=√15/20，则：
∠PH

Answer 4

连结AC、BD交点点O，则AC⊥平面BOF，则AO⊥BF。在三角形BOF中，作OH⊥BF于点H，则：BF⊥OH，所以BF⊥平面POH，则∠PHO就是二面角P—BF—D的平面角。在三角形POH中，PO=(√5/2)a，PA=(√5/2)a，OH=(√3/4)a，则cos∠PHO=√15/20，则：
∠PHO=arccos(√15/20)