Question

求证：以过抛物线y^2=2px焦点的弦为直径的圆，比与此抛物线的准线相切

Answer 1

一楼证明太复杂，其实不须过多计算。
过弦的两个端点向准线作垂线，这是可得到一个直角梯形。
根据抛物线的定义，得：弦的两个端点到焦点的距离等于梯形的上下底，
也就是梯形的斜腰（就是过焦点的弦）等于上下底的和，
由此可得，梯形的中位线等于弦长的一半，
所以，以弦为直径的圆与直角梯形的直边腰（也就是准线）相切。

Answer 2

焦点(p/2,0) 设过焦点的直线斜率为 k
直线方程y=kx-kp/2
联立抛物线方程
y^2=2px
y=kx-kp/2 消y得
k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2p^2/4=0 x1x2=p^2/4 x1+x2=p+2p/k^2
焦点的弦=√(1+k^2)*|x2-x1|=√(1+k^2)*|x2-x1|=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=2p+2p/k^2
弦的两个端点到准线的距离之和为
x1+x2+p=p+2p/k^2+p
以过抛物线y^2=2px焦点的弦为直径的圆的圆心到准线的距离d=p+p/k^2
d是圆直径的一半
以过抛物线y^2=2px焦点的弦为直径的圆与此抛物线的准线相切

Answer 3

y^2=2px
焦点(p/2,0),x=p/2,y=±p,过焦点的弦为直径,
所以半径为|p|,准线x=-p/2,圆心即为焦点，所以圆心到准线距离为
|p/2-(-p/2)|=|p|,等于半径，所以以抛物线y^2=2px过焦点的弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切

Answer 4

此时直径为x1+x2+P，则半径为（x1+x2+P）/2，而圆心到准线的距离恰好是(x1+x2)/2+p/2=（x1+x2+P）/2